Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
- SommesSommes des termes d'une suite
Énoncé du sujet
Montrer que pour tout
,
.
En déduire, pour tout entier
différent de 0 et 1,
la limite lorsque
tend vers
de
.
![$x>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4/1.png)
![$\dfrac{1}{1+x}<\ln(x+1)-\ln(x)<\dfrac{1}{x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4/2.png)
En déduire, pour tout entier
![$k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4/3.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4/4.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4/5.png)
![$\dsp\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac{1}{p}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4/6.png)
Correction
entre
et
donne l'exsitence d'un réel
tel que
![\[\ln(x+1)-\ln(x)=\ln'\left( c_x\rp=\dfrac{1}{c_x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/5.png)
et donc, comme
, on a l'encadrement
ce qui est bien l'encadrement souhaité.
On a alors, pour tout
,
![\[\ln(p+1)-\ln(p)<\dfrac1p<\ln(p)-\ln(p-1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/9.png)
et donc, en sommant,
![\[\sum_{p=n+1}^{kn}\ln(p+1)-\ln(p)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<
\sum_{p=n+1}^{kn}\ln(p)-\ln(p-1)
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/10.png)
Les sommes qui encadrent sont télescopiques et se simplifient en
![\[\ln(kn+1)-\ln(n+1)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<
\ln(kn)-\ln(n)
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/11.png)
soit encore, comme
et
, on a donc
![\[\ln\lp\dfrac{kn+1}{n+1}\right)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<\ln(k)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/14.png)
Maintenant, comme
,
d'après le théorème des gendarmes,
![\[\lim_{n\to+\infty}\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p=\ln(k)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/16.png)
Correction
Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction![$\ln$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/1.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/2.png)
![$x+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/3.png)
![$c_x\in]x;x+1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/4.png)
![\[\ln(x+1)-\ln(x)=\ln'\left( c_x\rp=\dfrac{1}{c_x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/5.png)
et donc, comme
![$x<c_x<x+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/6.png)
![$\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{c_x}<\dfrac{1}{x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/7.png)
On a alors, pour tout
![$p>1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/8.png)
![\[\ln(p+1)-\ln(p)<\dfrac1p<\ln(p)-\ln(p-1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/9.png)
et donc, en sommant,
![\[\sum_{p=n+1}^{kn}\ln(p+1)-\ln(p)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<
\sum_{p=n+1}^{kn}\ln(p)-\ln(p-1)
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/10.png)
Les sommes qui encadrent sont télescopiques et se simplifient en
![\[\ln(kn+1)-\ln(n+1)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<
\ln(kn)-\ln(n)
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/11.png)
soit encore, comme
![$\ln(kn+1)-\ln(n+1)=\ln\lp\dfrac{kn+1}{n+1}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/12.png)
![$\ln(kn)-\ln(n)=\ln\lp\dfrac{kn}{n}\rp=\ln(k)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/13.png)
![\[\ln\lp\dfrac{kn+1}{n+1}\right)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<\ln(k)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/14.png)
Maintenant, comme
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\ln\lp\dfrac{kn+1}{n+1}\rp=\ln(k)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/15.png)
![\[\lim_{n\to+\infty}\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p=\ln(k)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF4_c/16.png)
Tags:Rolle - AFSommes
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