Sous-espaces vectoriels de suites supplémentaires
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit 
l'espace vectoriel des suites réelles,
![\[F=\bigl\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=0\bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/2.png)
![\[G=\bigl\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=u_{2n+1}\bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/3.png)
Démontrer que
et 
sont supplémentaires dans 
l'espace vectoriel des suites réelles,
Démontrer que
et sont supplémentaires dans
Correction
En effet, si une suite appartient à l'intersection de ces deux espaces
et 
, alors elle appartient à 
donc tous ses termes d'indice pair sont nuls, et elle appartient aussi à 
, donc tous ses termes d'indices impairs sont égaux à ceux d'indices pairs donc sont nuls aussi.
En résumé seule la suite nulle appartient à la fois à
et 
.
On prouve maintenant que la somme de ces deux espaces est bien
, c'est-à-dire que 
.
On peut procéder par analyse synthèse.
On commence par analyser la situation, et cette somme d'espace.
Soit une suite
quelconque de 
.
On cherche alors une décomposition 
avec 
et 
.
On a donc alors
. Comme de plus 
, cela définit complètement 
puisqu'alors 
.
Maintenant que
est identifiée, la suite 
est alors simplement la différence: 
, pour laquelle il reste à vérifier qu'elle appartient bien alors à 
.
On passe à la synthèse.
Soit
une suite quelconque de 
.
On définit la suite
par 
pour tout entier naturel 
.
On a bien, par défintion, 
.
On pose ensuite
, pour tout entier naturel 
.
On a pour cette suite, pour tout entier naturel
,
, et donc 
.
Enfin, on a bien la somme
avec 
et 
, c'est-à-dire que 
.
Comme on a déjà prouvé que leur intersection est réduit à la suite nulle, on sait de plus que cette somme est directe
, ou en d'autres termes que ces deux sous-espace 
et 
sont supplémentaires dans 
.
Correction
On montre tout d'abord que l'intersection de ces deux espaces est réduit à la suite nulle.En effet, si une suite appartient à l'intersection de ces deux espaces
et , alors elle appartient à donc tous ses termes d'indice pair sont nuls, et elle appartient aussi à , donc tous ses termes d'indices impairs sont égaux à ceux d'indices pairs donc sont nuls aussi.
En résumé seule la suite nulle appartient à la fois à
et .
On prouve maintenant que la somme de ces deux espaces est bien
, c'est-à-dire que .
On peut procéder par analyse synthèse.
On commence par analyser la situation, et cette somme d'espace.
Soit une suite
quelconque de .
On cherche alors une décomposition avec et .
On a donc alors
. Comme de plus , cela définit complètement puisqu'alors .
Maintenant que
est identifiée, la suite est alors simplement la différence: , pour laquelle il reste à vérifier qu'elle appartient bien alors à .
On passe à la synthèse.
Soit
une suite quelconque de .
On définit la suite
par pour tout entier naturel .
On a bien, par défintion, .
On pose ensuite
, pour tout entier naturel .
On a pour cette suite, pour tout entier naturel
,
, et donc .
Enfin, on a bien la somme
avec et , c'est-à-dire que .
Comme on a déjà prouvé que leur intersection est réduit à la suite nulle, on sait de plus que cette somme est directe
, ou en d'autres termes que ces deux sous-espace et sont supplémentaires dans .
Tag:Espace vectoriel
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