Sous-espaces vectoriels de suites supplémentaires
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
l'espace vectoriel des suites réelles,
![\[F=\bigl\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=0\bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/2.png)
![\[G=\bigl\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=u_{2n+1}\bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/3.png)
Démontrer que
et
sont supplémentaires dans
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/1.png)
![\[F=\bigl\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=0\bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/2.png)
![\[G=\bigl\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=u_{2n+1}\bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/3.png)
Démontrer que
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/4.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/5.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites/6.png)
Correction
En effet, si une suite appartient à l'intersection de ces deux espaces
et
, alors elle appartient à
donc tous ses termes d'indice pair sont nuls, et elle appartient aussi à
, donc tous ses termes d'indices impairs sont égaux à ceux d'indices pairs donc sont nuls aussi.
En résumé seule la suite nulle appartient à la fois à
et
.
On prouve maintenant que la somme de ces deux espaces est bien
, c'est-à-dire que
.
On peut procéder par analyse synthèse.
On commence par analyser la situation, et cette somme d'espace.
Soit une suite
quelconque de
.
On cherche alors une décomposition
avec
et
.
On a donc alors
. Comme de plus
, cela définit complètement
puisqu'alors
.
Maintenant que
est identifiée, la suite
est alors simplement la différence:
, pour laquelle il reste à vérifier qu'elle appartient bien alors à
.
On passe à la synthèse.
Soit
une suite quelconque de
.
On définit la suite
par
pour tout entier naturel
.
On a bien, par défintion,
.
On pose ensuite
, pour tout entier naturel
.
On a pour cette suite, pour tout entier naturel
,
, et donc
.
Enfin, on a bien la somme
avec
et
, c'est-à-dire que
.
Comme on a déjà prouvé que leur intersection est réduit à la suite nulle, on sait de plus que cette somme est directe
, ou en d'autres termes que ces deux sous-espace
et
sont supplémentaires dans
.
Correction
On montre tout d'abord que l'intersection de ces deux espaces est réduit à la suite nulle.En effet, si une suite appartient à l'intersection de ces deux espaces
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/1.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/2.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/3.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/4.png)
En résumé seule la suite nulle appartient à la fois à
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/5.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/6.png)
On prouve maintenant que la somme de ces deux espaces est bien
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/7.png)
![$F+G=E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/8.png)
On peut procéder par analyse synthèse.
On commence par analyser la situation, et cette somme d'espace.
Soit une suite
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/9.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/10.png)
![$u_n=v_n+w_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/11.png)
![$(v_n)\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/12.png)
![$(w_n)\in G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/13.png)
On a donc alors
![$u_{2n}=w_{2n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/14.png)
![$(w_n)\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/15.png)
![$(w_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/16.png)
![$w_{2n+1}=w_{2n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/17.png)
Maintenant que
![$(w_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/18.png)
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/19.png)
![$v_n=u_n-w_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/20.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/21.png)
On passe à la synthèse.
Soit
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/22.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/23.png)
On définit la suite
![$(w_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/24.png)
![$w_{2n}=w_{2n+1}=u_{2n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/25.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/26.png)
![$(w_n)\in G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/27.png)
On pose ensuite
![$v_n=u_n-w_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/28.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/29.png)
On a pour cette suite, pour tout entier naturel
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/30.png)
![$v_{2n}=u_{2n}-w_{2n}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/31.png)
![$(v_n)\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/32.png)
Enfin, on a bien la somme
![$u_n=v_n+w_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/33.png)
![$(v_n)\in F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/34.png)
![$(w_n)\in G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/35.png)
![$F+G=E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/36.png)
Comme on a déjà prouvé que leur intersection est réduit à la suite nulle, on sait de plus que cette somme est directe
![$E=F\oplus G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/37.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/38.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/39.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exssevsuites_c/40.png)
Tag:Espace vectoriel
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