Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction logarithme pour démontrer que:

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1$

Correction

Soit $f(x)=\ln(1+x)$ continue et dérivable sur

. D'après le théorème des acrroissements finis sur

, il existe $c\in]0;x[$ tel que

$f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)$

soit

$\ln(1+x)=x\dfrac{1}{1+c}$

ou encore

$\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{1}{1+c}$

et donc, finalement,

$\left|\dfrac{\ln(1+x)}{x}-1\right|=\left|\dfrac{1}{1+c}-1\right|$

Or, $c\in]0;x[$ , et donc, $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{1}{1+c}=1$ d'où la limute recherchée:

$\lim_{x\to0}\left|\dfrac{\ln(1+x)}{x}-1\right|=0$

c'est-à-dire

$\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

Tags:Limite Rolle - AF

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