Convergence de Série harmonique alternée
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
On considère la suite 
définie par la somme
.
définie par la somme
.
- En calculant les premiers termes de cette suite, montrer qu'elle n'est pas monotone.
- On pose
et 
,
Montrer que ces suites sont adjacentes.
Que peut-on en conclure ?
Correction
Correction
- On a
, 
et 
.
Ainsi,
mais 
.
La suite n'est pas ni croissante, ni décroissante.
-
![\[\begin{array}{ll}
v_{n+1}-v_n&=u_{2(n+1)}-u_{2n}\\[.8em]
&=\dsp\sum_{k=1}^{2n+2}\dfrac{(-1)^k}{k}
-\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k} \\[2em]
&=\dfrac{(-1)^{2n+2}}{2n+2}+\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} \\[1em]
&=\dfrac{1}{2n+2}+\dfrac{-1}{2n+1}
=\dfrac{-1}{(2n+2)(2n+1)}<0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex16_c/6.png)
ce qui montre que
est décroissante.
De même,
![\[\begin{array}{ll}
w_{n+1}-w_n&=u_{2(n+1)+1}-u_{2n+1}=u_{2n+3}-u_{2n+1}\\[.8em]
&=\dsp\sum_{k=1}^{2n+3}\dfrac{(-1)^k}{k}
-\sum_{k=1}^{2n+1}\dfrac{(-1)^k}{k} \\[2em]
&=\dfrac{(-1)^{2n+3}}{2n+3}+\dfrac{(-1)^{2n+2}}{2n+2} \\[1em]
&=\dfrac{-1}{2n+3}+\dfrac{1}{2n+2}
=\dfrac{1}{(2n+3)(2n+2)}>0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex16_c/8.png)
ce qui montre que la suite
est croissante.
Enfin,
et donc, 
.
On déduit des trois résultats prcédents que
et 
sont adjacentes et que,
en particulier ces deux suites sont convergentes vers la même limite 
.
De plus, comme
et 
sont les deux sous-suites
extraites de 
de rangs respectivement pairs et impairs,
on en déduit que 
converge aussi vers la même limite.
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