Sur l'espérance d'une variable aléatoire

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires discrètesVariables aléatoires discrètes

Énoncé du sujet

Oral ESCP, BL - 2021

Soit une variable aléatoire à valeurs dans , définie sur un espace probabilisé .
1. Montrer que, pour tout de , on a:
  
  $\sum_{k=0}^nkP(X=k) = \sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n)$
2. On suppose que la série $\dsp\sum_{k\geqslant0}P(X>k)$ converge. Démontrer que admet une espérance.
3. Réciproquement, on suppose que admet une espérance.
  Démontrer que la suite tend vers 0, puis que la série $\dsp\sum_{k\geqslant0}P(X>k)$ converge et enfin que $E(X)=\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$
Une application: soit et deux entiers non nuls. On dispose d'une urne qui contient boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à . On effectue dans cette urne, tirages successifs avec remise d'une boule et on note le plus grand nombre obtenu.
1. Soit $k\in\N^*$ . Déterminer $P(X\leqslant k)$ . En déduire la loi de .
2. À l'aide des questions précédentes, déterminer l'espérance de en fonction de et .

Correction

Oral ESCP, BL - 2021

1. On se ramène à des inégalités strictes:
  
  $P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)$
  
  et donc
  
  $\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=0}^nkP(X=k)&=\dsp\sum_{k=1}^nkP(X=k)\\ &=\dsp\sum_{k=1}^nk\biggl(P(X>k-1)-P(X>k)\biggr)\\ &=\dsp\sum_{k=1}^nkP(X>k-1)-\sum_{k=1}^nkP(X>k)\\ &=\dsp\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)P(X>k)-\sum_{k=1}^nkP(X>k)\\ &=\dsp\sum_{k=1}^{n-1}P(X>k)+P(X>0)-nP(X>n)\\ &=\dsp\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n) \enar$
2. D'après le résultat précédent, on a donc
  
  $0\leqslant \sum_{k=0}^nkP(X=k)\leqslant\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)$
  
  et donc, puisqu'on suppose la série de droite convergente,
  
  $0\leqslant \sum_{k=0}^nkP(X=k)\leqslant\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$
  
  Ainsi, la suite des sommes partielles $\dsp\sum_{k=0}^nkP(X=k)$ est majorée. Comme elle est croissante (somme de termes positifs), on en déduit qu'elle converge, ce qui signifie exactement que l'expérance est une série convergente, et existe donc bien.
3. On a
  
  $nP(X>n)=n\sum_{k=n+1}^{+\infty}P(X=k)$
  
  On fait alors intervenir la série exprimant l'espérance
  
  $\begin{array}{ll}nP(X>n)&=\sum_{k=n+1}^{+\infty}nP(X=k)\\ &\leqslant kP(X=k)\enar$
  
  Le terme de droite est alors le reste de la série donnant l'espérance, donc le reste d'une série convergente: il tend donc vers 0, comme le terme positif .
  
  On a alors, d'après l'égalité démontré au début,
  
  $\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)=\sum_{k=0}^nkP(X=k)+nP(X>n)$
  
  La somme de droite est supposée converger (vers l'expérance) et le deuxième tend vers 0 comme on vient de le montrer. La série de gauche converge donc aussi.
  
  Enfin, par passage à la limite dans l'égalité précédente, on obtient bien
  
  $E(X)=\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$
1. Les tirages ont indépendants les uns des autres puisqu'il y a remise après chaque tirage. La probabilité que pour un tirage on tire une boule avec un numéro inférieur ou égal à est $\dfrac{k}N$ .
  Par indépendance des tirages, on a alors
  
  $P(X\leqslant k)=\lp\dfrac{k}N\rp^n$
  
  On en déduit la loi de par
  
  $\begin{array}{ll}P(K=k)&=P(X\leqslant k)-P(X\leqslant k-1)\\ &=\lp\dfrac{k}N\rp^n-\lp\dfrac{k-1}N\rp^n\enar$
2. Pour utiliser les résultats de la partie précédente, on écrit tout d'abord
  
  $P(X>k)=1-P(X\leqslant k)=1-\lp\dfrac{k}N\rp^n$
  
  puis
  
  $\begin{array}{ll}E(X)&=\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)\\ &=\dsp\sum_{k=0}^{N-1}\lp1-\lp\dfrac{k}N\rp^n\rp\enar$

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