Sur l'espérance d'une variable aléatoire


Oral ESCP, BL - 2021
  1. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, définie sur un espace probabilisé $(\Omega, A, P)$.
    1. Montrer que, pour tout $n$ de $N^*$, on a:
      \[\sum_{k=0}^nkP(X=k) = \sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n)\]

    2. On suppose que la série $\dsp\sum_{k\geqslant0}P(X>k)$ converge. Démontrer que $X$ admet une espérance.
    3. Réciproquement, on suppose que $X$ admet une espérance.
      Démontrer que la suite $(nP(X>n))$ tend vers 0, puis que la série $\dsp\sum_{k\geqslant0}P(X>k)$ converge et enfin que $E(X)=\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$
  2. Une application: soit $n$ et $N$ deux entiers non nuls. On dispose d'une urne qui contient $N$ boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à $N$. On effectue dans cette urne, $n$ tirages successifs avec remise d'une boule et on note $X$ le plus grand nombre obtenu.
    1. Soit $k\in\N^*$. Déterminer $P(X\leqslant k)$. En déduire la loi de $X$.
    2. À l'aide des questions précédentes, déterminer l'espérance de $X$ en fonction de $n$ et $N$.

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Tag:Variables aléatoires discrètes

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