Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Déterminer les fonction
, continues et telles que
,
.
![$f:\R\to\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5/1.png)
![$\forall x\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5/2.png)
![$\dsp\int_0^1 f(xt)\,dt=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5/3.png)
Correction
, pour
:
![\[\int_0^1 f(xt)\,dt=\dfrac1x\int_0^x f(u)\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/3.png)
ce qui signifie que la valeur moyenne de
sur
, pour tout
est nulle, et qui laisse bien penser que
est identiquement nulle.
Plus rigoureusement, on reconnaît la primitive
de
qui s'annule en 0:
![\[\int_0^xf(u)du=F(x)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/10.png)
Ainsi, cette primitive est la fonction nulle, et donc aussi
, pour
.
Enfin, comme
est continue sur
on a nécessairement
et donc
est identiquement nulle sur
.
Correction
On est assez fortement incité à faire le changement de variable![$u=xt$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/1.png)
![$x\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/2.png)
![\[\int_0^1 f(xt)\,dt=\dfrac1x\int_0^x f(u)\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/3.png)
ce qui signifie que la valeur moyenne de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/4.png)
![$[0;x]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/5.png)
![$x\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/6.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/7.png)
Plus rigoureusement, on reconnaît la primitive
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/8.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/9.png)
![\[\int_0^xf(u)du=F(x)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/10.png)
Ainsi, cette primitive est la fonction nulle, et donc aussi
![$F'(x)=f(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/11.png)
![$x\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/12.png)
Enfin, comme
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/13.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/14.png)
![$f(0)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/15.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/16.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR5_c/17.png)
Tag:Intégrale
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