Recherche de fonctions avec une propriété intégrale


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Déterminer les fonction $f:\R\to\R$, continues et telles que $\forall x\in\R$, $\dsp\int_0^1 f(xt)\,dt=0$.


Correction

Correction

On est assez fortement incité à faire le changement de variable $u=xt$, pour $x\not=0$:
\[\int_0^1 f(xt)\,dt=\dfrac1x\int_0^x f(u)\,du\]

ce qui signifie que la valeur moyenne de $f$ sur $[0;x]$, pour tout $x\not=0$ est nulle, et qui laisse bien penser que $f$ est identiquement nulle.
Plus rigoureusement, on reconnaît la primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 0:
\[\int_0^xf(u)du=F(x)=0\]

Ainsi, cette primitive est la fonction nulle, et donc aussi $F'(x)=f(x)=0$, pour $x\not=0$.
Enfin, comme $f$ est continue sur $\R$ on a nécessairement $f(0)=0$ et donc $f$ est identiquement nulle sur $\R$.


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