Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- LimiteLimites de suites et de fonctions
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Utiliser le théorème des accroissements finis,
appliqué à la fonction exponentielle pour démontrer que:
![\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1/1.png)
![\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1/1.png)
Correction
définie et dérivable sur
,
avec
Pour tout
réel,
d'après le théorème des accroissements finis sur
,
ou sur
suivant le signe de
,
il existe
tel que
.
Ainsi, pour tout
,
![\[\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-1=e^c-1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/11.png)
et alors
![\[\left|\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-1\right|=\left|f'(c)-1\right|
=\left|e^c-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/12.png)
or
ou
, soit
, et donc
![\[\lim_{x\to0}e^c-1=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/16.png)
d'où
![\[\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/17.png)
Correction
Soit


Pour tout

![$I=]0;x[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/5.png)
![$I=]x;0[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/6.png)



Ainsi, pour tout

![\[\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-1=e^c-1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/11.png)
et alors
![\[\left|\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-1\right|=\left|f'(c)-1\right|
=\left|e^c-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/12.png)
or
![$c\in]x;0[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/13.png)
![$x\in]0;x[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/14.png)

![\[\lim_{x\to0}e^c-1=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/16.png)
d'où
![\[\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF1_c/17.png)
Tags:LimiteRolle - AF
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