Séries à partir d'une suite implicite


Oral ESCP, BL - 2021
  1. Soit $a$ un réel positif ou nul. Pour tout $n\in\N^*$, on considère l'équation d'inconnue $x$ réel
    \[x^n+n^ax-1=0\]

    Montrer que cette équation admet une seule solution sur $\R_+^*$. On la note $x_n$.
  2. Étudier la convergence de la suite $(x_n)$.
  3. On suppose $a>0$.
    1. Montrer que $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{x_n}{1/n^a}=1$
    2. Soit $b>0$. Étudier la convergence des séries suivantes:
      $\dsp\sum x_n$, $\dsp\sum \ln(x_n)$, $\dsp\sum \ln\left( 1+x_n^b\rp$, et $\dsp\sum \ln\left( x_n-\dfrac1{n^\alpha}\rp$

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