Nombre de racines de la dérivée d'un polynôme


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
  • Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis

Énoncé du sujet

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$.
Démontrer que l'équation $f'(x)=0$ admet exactement trois solutions réelles distinctes.


Correction

Correction

$f$ admet 4 racines évidentes: $f(-1)=f(-2)=f(-3)=f(-4)=0$.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, appliqué trois fois respectivement sur $[-2;-1]$, $[-3;-2]$ et $[-4;-3]$, on obtient trois racines de $f'(x)$, distinctes car elles appartiennent à des intervalles disjoints $]-2;-1[$, $]-3;-2[$ et $]-4;-3[$.

Enfin, comme $f$ est un polynôme de degré 4, $f'$ est un polynôme de degré 3. Ainsi $f'$ admet au plus trois racines.
D'après ce qui précède, $f'$ admet donc exactement trois racines réelles.


Tags:DérivéeRolle - AF

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