Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance à la droite


Colle de mathématiques

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On considère, dans un repère orthonormal du plan, le point $A(3;4)$ et la droite $\Delta$ d'équation $2x-y+3=0$.
  1. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthgonal de $A$ sur la droite $\Delta$.
  2. En déduire la distance du point $A$ à la droite $\Delta$.



Correction

Correction

  1. $\vec{n}(2;-1)$ est un vecteur normal à $\Delta$. Soit $H(x;y)$, alors $H\in\Delta\iff 2x-y+3=0$ et $\overrightarrow{AH}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires: $-(x-3)=2(y-4)\iff x+2y-11=0$.
    On trouve alors $x=1$ et $y=5$, soit $H(1;5)$.
  2. La distance est alors $AH=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$.


Tag:Géométrie plane cartésienne

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