Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants


Colle de mathématiques

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Résoudre $y''-2y'+y=x$


Correction

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L'équation homogène associée $y''-2y'+y=0$ a pour équation caractéristique $r^2-2r+1=(r-1)^2=0$ de racine double $r=1$, et donc pour solution $y(x)=(Ax+B)e^x$, $(A,B)\in\R^2$.
On peut rechercher une solution particulière sous la forme d'une fonction affine: $y(x)=ax+b$ pour laquelle, $y''-2y'+y=ax+(-2a+b)$. On obtient ainsi une solution particulière en choisissant $a=1$ et $-2a+b=0\iff b=-2$.
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $x\mapsto (Ax+B)e^x+x-2$, $(A,B)\in\R^2$.


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