Racine carrée d'une différence d'exponentielles

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
Soit

un réel strictement positif. On note

l'application définie sur $\R$ par:

$v(x)=\la\begin{array}{lll}0&\text{si}&x\leqslant0\\ \dfrac{e^{-c^2x}-e^{-4c^2x}}{x\ln4}&\text{si}&x>0\enar\right.$

On admet que

est une fonction densité de probabilité, et on note

une variable aléatoire de densité

Montrer que admet une espérance et calculer sa valeur.
On note $Y =\sqrt{X}$ . On admet que est une variable à densité.
Montrer que admet une espérance et une variance et donner leurs valeurs.

Correction

oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.

admet une espérance si et seulement si

$\begin{array}{ll}E(X)&=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}xv(x)\,dx\\ &=\dfrac1{\ln4}\dsp\int_0^{+\infty} \left( e^{-c^2x}-e^{-4c^2x}\rp\,dx\enar$

converge, ce qui est le cas, et on sait même facilement calculer cette intégrale

$\begin{array}{ll}E(X)&=\dfrac1{\ln4}\lb\dfrac{-1}{c^2}e^{-c^2x}\rb_0^{+\infty} - \dfrac1{\ln4}\lb\dfrac{-1}{4c^2}e^{-4c^2x}\rb_0^{+\infty}\\ &=\dfrac1{\ln4}\left( \dfrac1{c^2}-\dfrac1{4c^2}\rp\\ &=\dfrac3{4c^2\ln4}\enar$
On et admet une espérance, donc admet un moment d'ordre 2, donc une espérance et un variance.
Pour revenir à la loi de , on passe classiquement par la fonction de répartition:

$\begin{array}{ll}F_Y(x)&=P(Y\leqslant x)\\ &=P(\sqrt{X}\leqslant x)\\ &=P(X\leqslant x^2)\\ &=F_X(x^2)\enar$

et on revient à la densité en dérivant cette fonction de répartition:

$F_Y'(x)=2xF_X'(x^2)=2xv(x^2)$

et on a alors l'espérance

$E(Y) = \dfrac2{\ln4}\int_0^{+\infty}\left( e^{-c^2x^2}-e^{-4c^2x^2}\rp\,dx$

Il reste à calculer ces intégrales: on pose

$I_1=\int_0^{+\infty} e^{-c^2x^2}dx$

et

$I_2=\int_0^{+\infty} e^{-4c^2x^2}dx$

en utilisant l'intégrale de la densité de la loi normale.

On sait en effet, grâce à la loi normale centrée réduite, que

$\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx=1$

d'où, par symétrie,

$I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}dx=\dfrac{\sqrt{2\pi}}2$

Avec le changement de variable $u=\sqrt2cx$ , on obtient

$\begin{array}{ll}I_1&=\dsp\int_0^{+\infty} e^{-u^2/2}\dfrac1{\sqrt2 c} du\\ &=\dfrac1{\sqrt2 c}I =\dfrac{\sqrt\pi}{2c} \enar$

De même, en posant $v=2\sqrt2cx$ on obtient

$\begin{array}{ll}I_2&=\dsp\int_0^{+\infty} e^{-v^2/2}\dfrac1{2\sqrt2c}dv\\ &=\dfrac1{2\sqrt2c}I=\dfrac{\sqrt\pi}{4c} \enar$

Finalement, on trouve donc par linéarité de l'intégrale

$E(Y)=\dfrac2{\ln4}\left( I_1-I_2\right) =\dfrac{\sqrt\pi}{4c\ln2}$

On peut enfin calculer la vairance à l'aide de la formule de König-Huygens:

$\begin{array}{ll}V(Y)&=E(Y^2)-E(Y)^2\\ &=E(X)-E(Y)^2\\ &=\dfrac3{4c^2\ln4}-\lp\dfrac{\sqrt\pi}{4c\ln2}\rp^2\\ &=\dfrac{6\ln2-\pi}{16c^2\ln^22} \enar$

Tag:Variables aléatoires continues

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