Somme directe des espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétiques, et diagonalisation d'une application


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

On considère l'application: $\phi\la\begin{array}{cll}\mathcal{M}_n(\R)&\to&\mathcal{M}_n(\R)\\[.4em] A&\mapsto& A-A^T\enar\right.$ On note de plus $\mathcal{S}_n(\R)$ et $\mathcal{A}_n(\R)$ les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques.
  1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\R)$.
  2. Déterminer $\text{Ker}(\phi)$ et montrer que $\text{Im}(\phi)=\mathcal{A}_n(\R)$.
  3. Montrer que $\mathcal{M}_n(\R)=\mathcal{A}_n(\R)\oplus\mathcal{S}_n(\R)$.
  4. Montrer que les seules valeurs propres de $\phi$ sont 0 et 2.
  5. Montrer que $\phi$ est diagonalisable.




Correction

Correction

  1. Par linéarité de la soustraction matricielle et de la transposition, $\phi$ est bien linéaire de $\mathcal{M}_n(\R)$ dans $\mathcal{M}_n(\R)$, et c'est donc bien un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\R)$.
  2. $A\in\text{Ker}(\phi)\iff\phi(A)=A-A^T=0\iff A=A^T\iff A\in\mathcal{S}_n(R)$.
    Ainsi, $\text{Ker}(\phi)=\mathcal{S}_n(\R)$.

    Soit $B\in\text{Im}(\phi)$, alors il existe $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ tel que $\phi(A)=A-A^T=B$. On a alors $B^T=\left( A-A^T\rp^T=A^T-A=-B$ et donc $B\in\mathcal{S}_n(\R)$, d'où $\mathcal{S}_n(\R)\subset\text{Im}\lp\text{Ker}(\phi)\rp$ Réciproquement, si $A\in\mathcal{S}_n$, alors $A^T=-A$ et alors $A=\dfrac12\left( A-A^T\rp=\phi\left(\dfrac12 A\rp$, ce qui montre que $A\in\text{Im}(\phi)$ et donc que $\text{Im}(\phi)\subset\mathcal{S}_n(\R)$.
    On vient ainsi de montrer que $\text{Im}(\phi)=\mathcal{A}_n(\R)$.
  3. La somme est directe, car si $A\in\mathcal{S}_n(\R)\cap\mathcal{A}_n(\R)$, alors $A^T=A$ et $A^T=-A$ d'où $A=-A\iff 2A=0\iff A=0$.

    De plus, pour toute matrice $A$, on peut écrire $A=\dfrac12\left( A+A^T\rp+\dfrac12\left( A-A^T\rp$ avec $\dfrac12\left( A+A^T\rp\in\mathcal{S}_n(\R)$ et $\dfrac12\left( A-A^T\rp\in\mathcal{A}_n(\R)$, ce qui montre que $\mathcal{M}_n(\R)=\mathcal{A}_n(\R)+\mathcal{S}_n(\R)$.

    Comme la somme est directe on a donc $\mathcal{M}_n(\R)=\mathcal{A}_n(\R)\oplus\mathcal{S}_n(\R)$.
  4. Soit $\lambda$ une valeur propre de $\phi$ et $A\not=0$ une matrice propre, c'est-à-dire $\phi(A)=\lambda A$. En particulier, si $\lambda\not=0$, $A\in\text{Im}(\phi)$ et donc, d'après ce qui précède, $A\in\mathcal{A}_n(\R)$, d'où $\phi(A)=A-A^T=2A$ et nécessairement, si $\lambda\not=0$, alors $\lambda=2$.
    Par ailleurs, $\lambda=0$ est aussi valeur propre car on a vu que $\text{Ker}(\phi)=\mathcal{S}_n(\R)$.
  5. On a $\text{Ker}(\phi)=\mathcal{S}_n(\R)$ et donc $\text{dim}\lp\text{Ker}(\phi)\rp=\text{dim}\lp\mathcal{S}_n(\R)\rp =\dfrac{n(n+1)}2$. De même, $\text{dim}\lp\text{Im}(\phi)=\rp\text{dim}\lp\mathcal{A}_n(\R)\rp =\dfrac{n(n-1)}2$. Au total, on a deux valeurs propres, pour lesquelles la somme des dimensions des espaces propres est $\dfrac{n(n+1)}2+\dfrac{n(n-1)}2=n^2=\text{dim}\lp\mathcal{M}_n(\R)\rp$, et donc $\phi$ est diagonalisable.


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