Somme directe des espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétiques, et diagonalisation d'une application
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- MatricesMatrices
- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
On considère l'application:
On note de plus et
les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques.
- Montrer que est un endomorphisme de .
- Déterminer et montrer que .
- Montrer que .
- Montrer que les seules valeurs propres de sont 0 et 2.
- Montrer que est diagonalisable.
Correction
Correction
- Par linéarité de la soustraction matricielle et de la transposition, est bien linéaire de dans , et c'est donc bien un endomorphisme de .
- .
Ainsi, .
Soit , alors il existe tel que . On a alors et donc , d'où Réciproquement, si , alors et alors , ce qui montre que et donc que .
On vient ainsi de montrer que . - La somme est directe, car si
,
alors et d'où .
De plus, pour toute matrice , on peut écrire avec et , ce qui montre que .
Comme la somme est directe on a donc . - Soit une valeur propre de et
une matrice propre, c'est-à-dire
.
En particulier, si ,
et donc,
d'après ce qui précède,
, d'où
et nécessairement, si ,
alors .
Par ailleurs, est aussi valeur propre car on a vu que . - On a et donc . De même, . Au total, on a deux valeurs propres, pour lesquelles la somme des dimensions des espaces propres est , et donc est diagonalisable.
Tags:MatricesDiagonalisation
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