Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R4


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

On considère les vecteurs $v_1=(1,0,0,1)$, $v_2=(0,0,1,0)$, $v_3=(0,1,0,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$ et $v_5=(0,1,0,1)$ dans $\R^4$.
  1. $\text{Vect}\left\{v_1, v_2\right\}$ et $\text{Vect}\left\{v_3\right\}$ sont-ils supplémentaires dans $R^4$ ?
  2. $\text{Vect}\left\{v_1, v_2\right\}$ et $\text{Vect}\left\{v_4, v_5\right\}$ sont-ils supplémentaires dans $R^4$ ?
  3. $\text{Vect}\left\{v_1, v_3 , v_4\right\}$ et $\text{Vect}\left\{v_2, v_5\right\}$ sont-ils supplémentaires dans $R^4$ ?



Correction

Correction

  1. En considérant les dimensions: $\dim\lp\text{Vect}\left\{v_1 , v_2\right\}\rp\leqslant2$ et $\dim\lp\text{Vect}\left\{v_3\right\}\rp=1$ et donc ces deux sous-espaces ne peuvent pas être supplémentaires dans $\R^4$ car $\dim\lp\R^4\rp=4$.
  2. Les dimensions peuvent ici concorder. On pose $F=\text{Vect}\left\{v_1 , v_2\right\}$ et $G=\text{Vect}\left\{v_4 , v_5\right\}$ Pour montrer la somme directe, il faut montrer que $F\cap G=\left\{0\right\}$ et $F+G=\R^4$.
    Soit donc $u\in F\cap G$, alors il existe $a$ et $b$ tels que $u=av_1+bv_2$ d'une part et $c$ et $d$ tels que $u=cv_4+dv_5$, soit aussi
    \[\begin{array}{lcl}&&u=av_1+bv_2=cv_4+d_v5\\[1em] &\iff& a\lp\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\enar\right) +b\lp\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\enar\right) =c\lp\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\enar\right) +d\lp\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\enar\rp\\[3em] &\iff&\la\begin{array}{ll} a=0\\ 0=d\\ b=0\\ a=c+d \enar\right.\iff a=b=c=d=0 \enar\]

    Ainsi, $u=0$ et la somme de $F$ et $G$ est directe. Il reste à démontrer que la somme est bien $\R^4$ (et non pas un sous-espace stricte de $\R^4$). On a $F+G=\text{Vect}\left\{v_1,v_2,v_3,v_4\right\}$. Soit $u(x,y,z,t)\in\R^4$, on cherche quatre coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $u=av_1+bv_2+cv_4+dv_5$, soit
    \[\lp\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\enar\rp= a\lp\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\enar\right) +b\lp\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\enar\right) +c\lp\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\enar\right) +d\lp\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\enar\rp\]

    ce qui est équivalent au système:
    \[\la\begin{array}{ll} x=a\\ y=d\\ z=b\\ t=a+c+d\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} a=x\\ b=z\\ c=t-a-d=t-x-y\\ d=y\enar\right.\]

    Ainsi, pour tout vecteur $u(x,y,z,t)$ il existe une combinaison linéaire de $F+G$, ce qui montre que $F+G=\R^4$, et donc, avec le résultat précédent sur l'intersection, $F\oplus G=\R^4$.
  3. Ces sous-espaces ne peuvent pas être supplémentaires car il y a trop de vecteurs. D'après la question précédente, on a bien $\text{Vect}\left\{v_1 , v_3 , v_4\right\}+\text{Vect}\left\{v_2 , v_5\right\}=\R^4$ mais l'intersection n'est pas réduite à $\left\{0\right\}$.


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