Développement en série entière d'une fonction


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction $x\mapsto\ln\lp1+x-2x^2\rp$.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.


Correction

Correction

On factorise $1+x-2x^2=(1-x)(1+2x)$ donc la fonction est définie sur $I=]-1/2,1[$, et sur cet intervalle, elle s'écrit aussi
\[\ln(1+x-2x^2)=\ln(1-x)+\ln(1+2x)\]

En utilisant le développement en série entière de $\ln(1+u)$, on obtient pour $|x|<1$,
\[\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\]

et pour $|x|<1/2$,
\[\ln(1+2x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2x)^n}{n}\]

En effectuant la somme, on en déduit que
\[\ln(1+x-2x^2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^n-1}{n}x^n\]

La série obtenue est de rayon de convergence 1/2.


Tag:Séries entières

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