Limite de la dérivée d'une fonction bornée


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
  • Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis

Énoncé du sujet

Soit $f:\R\to\R$ une fonction bornée et dérivable telle que $\dsp\lim_{+\infty}f'=l$.
Montrer que $l=0$.


Correction

Correction

Supposons que $l\neq 0$. On peut supposer par exemple que $l>0$.
On a donc, par définition de la limite,
\[\forall\varepsilon>0, \exists A>0,\forall x\geqslant A, l-\varepsilon<f'(x)<l+\varepsilon\]

En particulier, à partir d'un certain A, on a $f'(x)>0$.
Par exemple en choisissant $\varepsilon=l/2$, il existe $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, on a
\[f'(x)\geq l/2\]


On a alors, pour tout $x\geq A$, d'après le théorème des accroissements finis,
\[f(x)-f(A)=f'(c)(x-A)\geq\dfrac{l(x-A)}2\]

avec $c\in[A,x]$.
Lorsque $x$ vers $+\infty$, on trouve que maintenant que $f$ tend aussi vers $+\infty$, ce qui est une contradictoire avec le fait qu'elle est bornée.


Tags:DérivéeRolle - AF

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