Nature de l'intégrale …

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Étudier la nature de l'intégrale $\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}\,dx$

Correction

$x\mapsto\dfrac{\ln x}{1+x^2}$ est continue sur $]0;+\infty[$ et il suffit donc d'étudier la convergence de l'intégrale en

et en $+\infty$ .

En

, $\dfrac{\ln x}{1+x^2}\sim\ln x$ qui est intégrable (soit à l'aide $x\mapsto x\ln x-x$ qui est une primitive de $x\mapsto\ln x$ , soit car $\sqrt{x}\ln x=\dfrac{\ln x}{\frac1{\sqrt{x}}}\to0$ et donc $\ln x=o\lp\dfrac1{\sqrt{x}}\rp$ qui est le terme d'une intégrale de Riemann convergente en 0).

En $+\infty$ , par croissances comparées, $\dfrac{\frac{\ln x}{1+x^2}}{\frac1{x^{1,1}}}=x^{1,1}\dfrac{\ln x}{1+x^2}\sim\dfrac{\ln x}{x^{0,9}}\to0$ ce qui signifie que $\dfrac{\ln x}{1+x^2}=o\lp\dfrac1{x^{1,1}}\rp$ qui est le terme d'une intégrale de Riemann convergente.

L'intégrale est donc convergente.

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