Existence d'une solution à une équation polynomiale


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
  • Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis

Énoncé du sujet

Soit $(a,b,c)\in\R^3$. Montrer qu'il existe $x\in]0;1[$ tel que $4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c$.


Correction

Correction

Soit $f:x\mapsto ax^4+bx^3+cx^2-(a+b+c)x$.
On a $f(0)=f(1)=0$, et alors, comme $f$ est bien continue et dérivable sur $[0;1]$ (et même sur $\R$, et même de classe $\mathcal{C}^\infty$ car c'est un polynôme), d'après le théorème de Rolle, il existe $x\in]0;1[$ tel que $f'(x)=0$, ce qui est le résultat souhaité.


On peut aussi démontrer ce démontrer ce résultat en utilisant le théorème des accroissements finis et la fonction polynôme $g:x\mapsto ax^4+bx^3+cx^2$.
Comme $g$ est bien continue et dérivable sur $[0;1]$ (et même sur $\R$, et même de classe $\mathcal{C}^\infty$ car c'est un polynôme), le théorème des accroissements finis nous dit qu'il existe $x\in]0;1[$ tel que
\[f(1)-f(0)=(1-0)f'(x)\]

ce qui, avec $f(1)=a+b+c$ et $f(0)=0$, est exactement l'égalité recherchée.


Tags:DérivéeRolle - AF

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