Existence d'une solution à une équation polynomiale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Soit
.
Montrer qu'il existe
tel que
.

![$x\in]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle1/2.png)

Correction
.
On a
, et alors, comme
est bien continue et dérivable sur
(et même sur
, et même de classe
car c'est un polynôme),
d'après le théorème de Rolle,
il existe
tel que
, ce qui est le résultat souhaité.
On peut aussi démontrer ce démontrer ce résultat en utilisant le théorème des accroissements finis et la fonction polynôme
.
Comme
est bien continue et dérivable sur
(et même sur
, et même de classe
car c'est un polynôme), le théorème des accroissements finis nous dit qu'il existe
tel que
![\[f(1)-f(0)=(1-0)f'(x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle1_c/15.png)
ce qui, avec
et
, est exactement l'égalité recherchée.
Correction
Soit
On a


![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle1_c/4.png)


![$x\in]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle1_c/7.png)

On peut aussi démontrer ce démontrer ce résultat en utilisant le théorème des accroissements finis et la fonction polynôme

Comme

![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle1_c/11.png)


![$x\in]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle1_c/14.png)
![\[f(1)-f(0)=(1-0)f'(x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exRolle1_c/15.png)
ce qui, avec


Tags:DérivéeRolle - AF
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