Nombre de racines d'un polynôme


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Montrer que le polynôme $P(x)=x^n+ax+b$, avec $a$ et $b$ réels, admet au plus trois racines réelles distinctes.


Correction

Correction

Supposons au contraire que $P$ possède au moins quatre racines réelles distinctes: $x_1$, $x_2$, $x_3$ et $x_4$.
Le théorème de Rolle appliqué à $P$ sur les intervalles $[x_1;x_2]$, $[x_2;x_3]$ et $[x_3;x_4]$ montre que $P'$ admet alors au moins trois racines $x_1'$, $x_2'$ et $x_3'$, respectivement dans les intervalles $]x_1;x_2[$, $]x_2;x_3[$ et $]x_3;x_4[$. Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont distinctes aussi.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles $[x_1';x_2']$ et $[x_2';x_3']$, pour obtenir deux racines $x_1 et $x_2 distinctes.
Or, $P n'admet pas deux racines distinctes. $P$ doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.


Tags:Rolle - AFPolynôme

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