Nombre de racines d'un polynôme
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Montrer que le polynôme , avec et réels,
admet au plus trois racines réelles distinctes.
Correction
Le théorème de Rolle appliqué à sur les intervalles , et montre que admet alors au moins trois racines , et , respectivement dans les intervalles , et . Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont distinctes aussi.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles et , pour obtenir deux racines et distinctes.
Or, n'admet pas deux racines distinctes. doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.
Correction
Supposons au contraire que possède au moins quatre racines réelles distinctes: , , et .Le théorème de Rolle appliqué à sur les intervalles , et montre que admet alors au moins trois racines , et , respectivement dans les intervalles , et . Ces intervalles sont disjoints et ces trois racines sont distinctes aussi.
On réitère alors le théorème de Rolle sur les deux intervalles et , pour obtenir deux racines et distinctes.
Or, n'admet pas deux racines distinctes. doit donc avoir au plus trois racines réelles distinctes.
Tags:Rolle - AFPolynôme
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