Sur les valeurs propres d'une matrice aléatoire

Colle de mathématiques

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Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
Soit

deux variables aléatoires indépendantes dfinies sur le même espace probabilisé $(\Omega, A, P)$ , suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in]0, 1[$ .
Pour tout $\omega\in\Omega$ , on pose

$A(\omega)=\lp\begin{array}{cc}X(\omega)&Y(\omega)\\Y(\omega)&X(\omega)\enar\rp$

Déterminer la probabilité que soit inversible.
Soit $\lambda_1$ et $\lambda_2$ les variables aléatoires égales aux valeurs propres de . Calculer $Cov(\lambda_1,\lambda_2)$ .

Correction

oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.

La matrice est inversible si seulement si son déterminant est non nul, soit

$\det(A(\omega))=X^2(\omega)-Y^2(\omega)\not=0$

et donc, puisque ces variables aléatoires suivent des lois géométriques, donc en particulier sont à valeurs positives, on à donc que $A(\omega)$ est inversible si et seulement si

$X(\omega)\not=Y(\omega)$

La probabilité que cela arrive est

$P(X\not=Y) = 1 - P(X=Y)$

avec

$P(X=Y)=\sum_{k=1}^{+\infty}P((X=k)\cap(Y=k))$

soit, par indépendance des deux variables,

$\begin{array}{ll} P(X=Y)&=\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}P((X=k)\cap(Y=k))\\ &=\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}\left( pq^{k-1}\rp^2\\ &=\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}p^2(q^2)^{k-1}\\ &=\dfrac{p^2}{1-q^2}=\dfrac{p}{2-p}\enar$

On obtient alors finalement la porbabilité

$\begin{array}{ll}P(X=Y)&=1-\dfrac{p}{2-p}\\&=\dfrac{2(1-p)}{2-p}\enar$
Les valeurs propres de sont les réels $\lambda$ tels que la matrice

$A-\lambda I_2 = \lp\begin{array}{cc}X(\omega)-\lambda&Y(\omega)\\Y(\omega)&X(\omega)-\lambda\enar\rp$

n'est pas inversible. On retrouve le raisonnement de la question précédente: le déterminant de cette matrice doit être nul, c'est-à-dire

$(X-\lambda)^2-Y^2=0\iff \lambda=X\pm Y$

On a donc nos deux valeurs propres

$\lambda_1=X(\omega)+Y(\omega)$

et

$\lambda_2=X(\omega)-Y(\omega)$

(ce qui montre au passage que cette matrice est toujours diagonalisable, car $\lambda_1\not=\lambda_2$ sauf si , dernier cas dans lequel la matrice est déjà diagonale)
On calcule alors la covariance recherchée:

$Cov(\lambda_1,\lambda_2)=Cov(X+Y,X-Y) =E\bigl((X+Y)(X-Y)\bigr)-E(X+Y)E(X-Y)$

soit, en développant avec la linéarité de l'espérance,

$Cov(\lambda_1,\lambda_2)=V(X)-V(Y)=0$

car ces deux variables aléatoires suivent la même loi.

Attention: on ne peut pas en déduire que les varaiables aléatoires $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont indépendantes.
Au contraire même, vu leurs expressions, elles ne semblent pas indépendantes, à démontrer …

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