Devoir de maths corrigé, suites numériques et fonction exponentielle
Première générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les suites numériques, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024
Exercice 1: Sommes des termes de suites arithmétique et géométrique
- Calculer la somme
- Soit
une suite géométrique telle que
et
.
- Déterminer la raison de cette suite ainsi que son premier terme
.
- Soit
.
Donner la valeur excate depuis sa valeur approchée au centième.
- Déterminer la raison de cette suite ainsi que son premier terme
Correction exercice 1
- Il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 4,
Il y a donc 196 termes dans cette somme, et donc
- Soit
une suite géométrique telle que
et
.
- La raison de cette suite est
, et le premier terme est alors
.
-
- La raison de cette suite est
Cacher la correction
Exercice 2: Suite récurrente et suite intermédiaire géométrique
On considère la suite
définie par
et, pour tout entier
, par
.
On considère la suite
définie par
et, pour tout entier
, par
.
Cacher la correction




- Calculer
et
.
La suiteest-elle arithmétique ? géométrique ?
- On pose
.
Montrer queest une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
.
En déduire l'expression deen fonction de
.
- Donner l'expression de
en fonction de
.
Correction exercice 2
On considère la suite




-
et
Cette suite ne peut pas être arithmétique carest différent de
.
Elle ne peut pas être géométrique non plus car on aurait alorsce qui n'est pas le cas.
- Pour tout entier
, on a
.
Ainsiest une suite géométrique de raison
et de premier terme
.
On en déduit que, pour tout entier,
.
- Comme
, on a alors
.
Cacher la correction
Exercice 3: Problème complet: protocole médical, fonction exponentielle et suite récurrente (Bac 2022)
Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traiterment de
d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Étude du premier protocole
Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction
définie sur l'intervalle [0 ; 10] par
![\[f(t) = 3t e^{-0,5t+1},\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/bac2022/2.png)
où
désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.
Partie B : Étude du deuxième protocole
Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqüre intraveineuse, une dose de
mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de
mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite
où, pour tout entier naturel
,
désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la
-ième heure. On a donc
.
D'après Bac 2022, épreuve de spécialité
Partie A : Étude du premier protocole
Partie B : Étude du deuxième protocole
Cacher la correction
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Étude du premier protocole
Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction

![\[f(t) = 3t e^{-0,5t+1},\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/bac2022/2.png)
où

-
Dresser le tableau de variation de
sur l'intervalle [0 ; 10].
Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale?
-
- Montrer que l'équation
admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2] notée
, dont on donnera une valeur approchée à
près. On admet que l'équation
admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10], notée
, et qu'une valeur approchée de
à
près est 3,46.
- On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
- Montrer que l'équation
Partie B : Étude du deuxième protocole
Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqüre intraveineuse, une dose de


On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite





- Calculer, selon cette modélisation, la quantité
, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
- Justifier que, pour tout entier naturel
, on a :
.
- On considère la suite
définie, pour tout entier naturel
, par
.
- Montrer que la suite
est une suite géométrique de raison
dont on précisera le premier terme.
- Déterminer l'expression de
en fonction de
, puis de
en fonction de
.
- Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.
- Montrer que la suite
Correction exercice 3
D'après Bac 2022, épreuve de spécialité
Partie A : Étude du premier protocole
-
On a
avec
donc
et
avec
donc
et alors
. On obtient alors
, soit
On a alors le signe de lé dérivée et le sens de variation:
Selon cette modélisation, la quantité maximale de médicament présente dans le sang du patient sera demg, au bout de 2 heures.
-
- Sur [0;2], la fonction
est continue (car même dérivable), strictement croissante, avec
et
, et ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), on sait donc qu'il existe une unique solution
à l'équation
.
Avec la calculatrice, par balayage par exemple, on touvesoit,
.
- On peut compléter le tableau de variation:
grâce auquel on trouve que la durée d'efficacité du médicament est donc desoit 2,44 heures, ou encore 2 heures et 26 minutes.
- Sur [0;2], la fonction
Partie B : Étude du deuxième protocole
- Selon cette modélisation, à la première heure la quantité dans le sang a diminué de 30%, il en reste donc
. On réinjecte de plus une nouvelle dose de 1,8 mg, et on trouve donc que
- De même que précédemment, à la (n+1)-ème heure,
la quantité dans le sang présente l'heure précédente, soit
a diminué de 30%, soit
, et on réinjecte, donc ajoute, 1,8 mg.
On obtient donc bien la relation.
-
- Pour tout entier
, on a
ce qui montre que la suiteest bien géométrique de raison
et de premier terme
.
- On en déduit alors que, pour tout entier
,
puis, comme, que
- On arrête les injections lorsque la quantité de médicament
présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg,
soit lorsque
À l'aide de la calculatrice, on trouve que. Comme on réalise une injection par heure, il faut donc en réaliser 6.
Remarque: en utilisant la fonction logarithme népérien, on trouve plus précisément que
- Pour tout entier
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Exercice 4: Rebonds d'une balle: hauteur des rebonds susccessifs et distance totale parcourue
On lâche une balle de 2m de hauteur.
Cette balle rebondit à chaque fois à une hauteur égale aux trois quarts de la hauteur à laquelle elle a été lâchée.
Cacher la correction
- Calculer la hauteur du 1er rebond, puis la hauteur du 2ème rebond.
- On arrête cette balle au sommet du 20ème rebond.
Quelle est la hauteur de ce 20ème rebond ? Quelle distance totale aura alors parcouru cette balle pendant ces 20 rebonds ?
Correction exercice 4
- On note
la hauteur, en mètres, du n-ième rebond. On a
, et la hauteur du 1er rebond
, puis celle du 2ème rebond
- La suite
est géométrique de raison
, et alors, au 20ème rebond, on a
soit une hauteur d'environ 0,6cm.
En l'arrêtant au sommet du 20ème rebond, la balle aura parcouru, puis deux fois
(monté puis descente) puis deux fois
, …, jusqu'à une fois
(on l'arrête cette fois au sommet, et elle ne redescend donc pas). La distance totale parcourue est donc
soit
La première somme vaut
et la distance totale parcourue est alors
soit un peu moins de 14 mètres parcourus.
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