Suite récurrente avec exponentielle, construction graphique des premiers termes

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=xe^{0,2x-1}$.
On définit à partir de cette fonction la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Donner une valeur approchée de $u_1$.
  2. Étudier le sens de variation de $f$.
  3. Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal (unité graphique 2cm, ou 2 carreaux).
    Construire sur ce graphique les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ d'ordonnées nulles et d'absisses $u_0$, $u_1$,…,$u_4$.
  4. Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.



Correction

Correction

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=xe^{0,2x-1}$.
On définit à partir de cette fonction la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. On a $f=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=e^{0,2x-1}$ soit $v=e^w$ avec $w(x)=0,2x-1$ donc $w'(x)=0,2$ et alors $v'=w'e^w$ soit $w'(x)=0,2e^{0,2x-1}$.
    On a alors $f'=u'v+uv'$, soit
    \[f'(x)=e^{0,2x-1}+x\times 0,2e^{0,2x-1}=\left( 1+0,2x\right) e^{0,2x-1}\]


    On a $e^{0,2x-1}>0$ et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &&$-5$ && $+\infty$ \\\hline $e^{0,2x-1}$ && $+$ & $|$& $+$ &\\\hline $1+0,2x$ && $-$ & $\zb$ & $+$ &\\\hline $f'(x)$ && $-$ & $\zb$ & $+$ &\\\hline &&&&&\\ $g$&&\Large{$\searrow$} &&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-5e^{-2}$&&\\\hline \end{tabular}\]


    On trace alors l'allure de la courbe et sur le graphique la droite d'équation $y=x$ et on construit les points demandés sur l'axe des abscisses.

    \[\psset{arrowsize=8pt,unit=1.4cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(6,6) \psline{->}(-1,0)(6,0) \psline{->}(0,-1)(0,6) \multido{\i=1+1}{5}{\rput(\i,-.3){\i}\psline(\i,-.08)(\i,.05)} \multido{\i=1+1}{5}{\rput[r](-.1,\i){\i}\psline(-.08,\i)(.05,\i)} %\psplot{.1}{5}{2 x div 1 add} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{#1 2.718 0.2 #1 mul 1 sub exp mul} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{0.1}{7}{\f{x}} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-.5}{6.5}{x} % Defintion de la fonction it\'er\'ee: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{3} \def\nmax{3} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.7){$A_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.7){$A_\i$} } \end{pspicture*}\]


  2. La suite semble tendre vers 0, l'abscisse d'un des points d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite d'équation $y=x$.
    L'abscisse de ce point vérifie dont l'équation
    \[f(x)=x\iff xe^{0,2x-1}=x \iff x\left( e^{0,2x-1}-1\rp=0\]

    qui est un produit nul, donc soit $x=0$, soit
    \[e^{0,2x-1}=0\iff e^{0,2x-1}=1=e^0\]

    soit encore $0,2x-1=0\iff x=5$.
    Comme la suite semble décroissante, la limite ne pourrait être que la première solution 0.


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