Construction des premiers termes d'une suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=0,1$ puis, pour tout entier naturel $n$ par la relation
\[u_{n+1}=-0,5u_n^2+1\]

Le graphique suivant donne la courbe représentant la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-0,5x^2+1$.
  1. Construire sur ce graphique, sur l'axe des abscisses, les premiers $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ de la suite $(u_n)$.
  2. Vers quelle valeur limite semble tendre cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite.


\[\psset{unit=6cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-.5,-.4)(2.3,1.5) \psline{->}(-0.5,0)(2.3,0) \psline{->}(0,-0.5)(0,1.5) \multido{\i=0+1}{3}{% \psline(\i,-0.02)(\i,0.02)% \rput(\i,-0.08){$\i$}} \multido{\i=0+1}{2}{ \psline(-0.05,\i)(0.05,\i) \rput(-0.1,\i){$\i$}} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{-0.5 #1 2 exp mul 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{7}{\f{x}} \rput(1.4,.2){$\mathcal{C}_f$} \end{pspicture*}\]




Correction

Correction

  1. On construit graphiquement les premiers termes de la suite en s'aidant de la droite d'équation $y=x$

    \[\psset{unit=6cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-.5,-.4)(2.3,1.5) \psline{->}(-0.5,0)(2.3,0) \psline{->}(0,-0.5)(0,1.5) \multido{\i=0+1}{3}{% \psline(\i,-0.02)(\i,0.02)% \rput(\i,-0.08){$\i$} } \multido{\i=0+1}{2}{% \psline(-0.02,\i)(0.02,\i)% \rput(-0.1,\i){$\i$}% } % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{-0.5 #1 2 exp mul 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{7}{\f{x}} \rput(1.4,.2){$\mathcal{C}_f$} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-0.2}{6.5}{x} \rput(1.4,1.2){$d:y=x$} % Defintion de la fonction it\'er\'ee: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{0.1} \def\nmax{4} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,0){$\tm$} \rput(\xinit,-0.07){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.07){$u_\i$} } \end{pspicture*}\]


  2. La suite semble tendre vers la valeur $l$ qui est l'abscisse du point d'interection de la droite et de la courbe. Cette valeur $l$ est donc un point fixe pour la fonction $f$, c'est-à-dire une valeur telle que
    \[\begin{array}{ll}f(f)=l &\iff -0,5x^2+1=x\\[.4em] &\iff 0,5x^2+x-1=0\enar\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=1-4\tm0,5\tm(-1)=3>0$ et admet donc deux racines $l_1=\dfrac{-1-\sqrt3}{2\tm0,5}=-1-\sqrt3$ et $l_2=-1+\sqrt3$.
    Comme la suite semble positive, la seule valeur limité possible est $l_1=-1+\sqrt3$.


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