Prêt bancaire, taux, durée et mensualités

Prêt simple à taux fixe

Y. Morel

Pour un prêt bancaire trois paramètres sont fondamentaux: le taux proposé par le banquier, la durée totale du prêt, et bien sûr, le paramètre principal pour l'emprunteur: le montant des mensualités qu'il va devoir rembourser.
Ces trois paramètres sont bien sûr intimement liés, et c'est le but de ce qui suit de déterminer précisément ce lien mathématique entre ces paramètres.

Supposons que l'on souhaite emprunter à notre banque une somme, ou capital, C, par exemple C = 1000 euros.
Le banquier nous propose de nous prêter ce montant, avec un taux d'intérêts t, par exemple t = 3%, et sur une durée T, par exemple T = 25 ans ou T = 300 mois.

La question principale qui intéresse l'emprunteur est: quel est le montant M des mensualités qu'il va devoir rembourser chaque mois à sa banque pour s'acquiter de son emprunt.

Bien sûr, un certain nombre d'autres questions connexes peuvent aussi se poser, comme:

Connaissant les mensualités que je suis capable de payer, quel capital total puis-je emprunter et/ou sur quelle durée ?
Connaissant les mensualités que je peux me permettre et le montant du prêt dont j'ai besoin, quelle est la durée du prêt que je dois envisager ?
ou encore, connaissant aussi la durée, quel est le taux d'intérêts global correspondant (donc celui que je dois viser dans mes négociations avec mon banquier) ?
Etant donné une durée de remboursement associée à un taux, jusqu'à quel taux faudrait-il descendre pour avoir des mensualités identiques sur une durée plus courte ?
Sachant que généralement plus un prêt est court, moins il est coûteux (taux d'intérêts bas et assurance moins onéreuse car moins risqué), est-il possible de scinder un prêt en (au moins) deux prêts dont un plus court afin d'en profiter et de minimiser le coût global ?

Les outils de calcul, ou "calculettes", en ligne permettent de répondre empiriquement à ces questions:

Calcul des mensualités pour un prêt simple à taux d'intérêts fixe sur une durée donnée
Calcul du taux d'intérêts global, connaissant le montant du prêt, sa durée et les mensualités
Calcul des mensualités de 2 prêts emboîtés (ou prêts gigognes)
Calcul des mensualités de N prêts emboîtés (ou N prêts gigognes)

Relation taux/durée/mensualités

On note E le montant de l'emprunt et t le taux annuel annoncé, par exemple E = 100 000 euros et t = 3%.
Le taux d'intérêt annoncé permet de calculer le montant des intérêts versés.
On note par la suite t' = t/12 le taux d'intérêt mensuel (voir le paragraphe plus loin pour une discussion sur ce calcul…).
On note enfin M le montant des mensualités.

Le 1er mois: le montant des intérêts versés est I₁ = Et', et la partie de capital remboursée en payant une mensualité M est donc M − I₁.
Ainsi, le capital restant à rembourser devient alors
C₁ = E − (M − I₁) = E − M + I₁ = E − M + Et' = E(1+t' ) − M
Le 2ème mois: on raisonne comme précédemment, avec le nouveau capital global C₁ au lieu de E. Le montant des intérêts versés est maintenant I₂ = C₁t', et le capital restant alors à rembourser devient après versement de la deuxième mensualité
C₂ = C₁ − (M − I₂) = C₁(1+t' ) − M
soit, avec l'expression précédente du capital C₁,
C₂ = (E(1+t' ) − M)(1+t' ) − M

puis, en développant et ordonnant les termes,
C₂ = E(1+t')² − M(1 + (1+t'))
Le 3ème mois: le montant des intérêts versés est maintenant I₃ = C₂t', et le capital restant alors à rembourser devient après versement de la deuxième mensualité
C₃ = C₂ − (M − I₃) = C₂(1+t' ) − M = [E(1+t')² − M(1 + (1+t'))](1+t' ) − M = E(1+t')³ − M(1 + (1+t') + (1+t')²)
…
Le i-ème mois, par un rapide raisonnement par récurrence, on arrive à l'expression du capital restant à rembourser:
C_i = E(1+t')ⁱ − M(1 + (1+t') + (1+t')² + … + (1+t')ⁱ⁻¹)

L'expression en facteur de M est la somme des premiers termes d'une suite géométrique: pour q≠1,
1 + q + q² + … + qⁱ = qⁱ⁺¹ − 1 / q − 1

Ainsi, dans notre cas, on peut réécrire le capital restant avec la raison q = 1 +t' suivant
C_i = E(1+t')ⁱ − M q^(i−1)+1 − 1 / q − 1
soit,
C_i = E(1+t')ⁱ − M (1+t')ⁱ − 1 / t'

La durée N, en mois, de l'emprunt doit correspondre à la durée nécessaire pour rembourser la totalité de celui-ci, et donc correspondre au mois N tel que C_N = 0, soit

0 = E(1+t')ⁱ − M (1+t')ⁱ − 1 / t'

donc

M (1+t')^N − 1 / t' = E(1+t')^N

soit finalement

M = Et'(1+t')^N / (1+t')^N − 1

ou encore, en divisant numérateur et dénominateur par (1+t')^N, on obtient la formule

M = Et' / 1 − (1+t')^−N

qui permet de calculer les mensualités à verser pour rembourser un emprunt E, avec un taux d'intérêt t' = t/12, où t est le taux annuel annoncé par le prêteur, et N le nombre de mois de remboursement.

Caclulette

Accéder à l'outil de calcul en ligne des mensualités pour un prêt simple à taux d'intérêts fixe sur une durée donnée Caclulette

Taux annuel et mensuel

La conversion du taux d'intérêts annuel en taux mensuel se fait pour les prêts banquaires proportionnellement: un taux de t' = 0,5% mensuel correspond à un taux annuel t = 0,5%×12 = 6%.

Comme les intérêts sont composés, comme dans le cas d'un livret ou placement financier à un taux d'intérêts donnés, on pourrait aussi avec le taux mensuel t' = 0,5% calculer le taux annuel suivant

1 + t = (1+t')¹²≃ 1,0617

soit donc un taux annuel d'environ t ≃ 6,17% ce qui diffère nettement…

Pour les calculs de prêts, les banques utilisent la première méthode, proportionnelle, tandis que pour un placement financier (un livret A par exemple), c'est la deuxième méthode, dite actuarielle, qui est utilisée.

Tableau d'amortissement - Coût total

Pour un prêt simple à taux fixe, les mensualités sont constantes tout au long de la durée prévue du prêt. Par contre, les parts d'intérêt et de capital remboursé à chaque mensualité évolue, étant donnée que l'intérêt est proportionnel (le coefficient de proportionnalité étant justement le taux d'intérêt mensuel) au montant du capital qu'il reste à cette date à rembourser.
Une des façons de comparer 2 prêts s'étendant sur la même durée est alors aussi de comparer leur coût total, c'est-à-dire la somme totale des intérêts versés dans chaque cas.

L'outil de calcul Caclulette

propose en plus du calcul des mensualités le coût du prêt, ainsi que l'évolution de la répartition, mensuellement, de la part d'intérêt et celle de capital dans chaque mensualité.

Calcul de la durée

On peut aussi se poser la question du temps nécessaire pour rembourser un montant donné, à un taux fixé, avec des mensualités que l'on (s')impose.
Il suffit "d'inverser" la formule donnant les mensualités

M = Et' / 1 − (1+t')^−N ⇔ 1 − (1+t')^−N = Et' / M ⇔ (1+t')^−N = 1 − Et' / M

puis, en utilisant le logarithme népérien, on obtient

−N ln(1+t') = ln 1 − Et' / M

ou encore finalement,

N = − ln 1 − Et' / M / ln(1+t')

Cette formule permet donc finalement de calculer directement le nombre de mois à rembourser en fonction du capital emprunté et du taux.

Calcul du capital empruntable

Connaissant les taux d'intérêt pratiqués et la durée et les mensualités qu'on peut se permettre, quel montant peut-on envisager emprunter ?
Avec les calculs algébriques déjà développés jusque là, il suffit pour exprimer ce montant d'"inverser" la relation reliant les mensualités, le taux et la durée:

M = Et' / 1 − (1+t')^−N ⇔ E = M / t' (1 − (1+t')^−N )

Cette formule permet cette fois de calculer le montant total de l'emprunt en fonction des mensualités souhaitées et du taux d'intérêt.

Calcul du taux

Une autre question qui peut aussi se poser, avant de démarcher les organismes bancaires par exemple, est, connaissant le montant total de l'emprunt, sa durée ainsi que le montant des mensualités que je veux/peux me permettre, quel taux d'intérêt dois-je obtenir ?
L'expression donnant les mensualités permet d'écrire une équation dans laquelle on peut considérer que l'inconnue est le taux t' mensuel:

M = Et' / 1 − (1+t')^−N ⇔ E / M t' (1+t')^N − (1+t')^N + 1 = 0

Il s'agit donc de résoudre cette équation, d'inconnue t'.
Malheureusement, c'est une équation polynomiale de degré N avec très généralement N > 5, car N est le nombre de mois de remboursement…
Or, il se trouve qu'on ne sait justement pas résoudre de telles équations exactement en général; plus précisément, il n'existe pas de formule donnant les solutions d'équations polynomiales pour des polynômes de degré N > 5, comme le jeune mathématicien français Gallois l'a montré il y a environ 2 siècles.

On ne peut donc pas se satisfaire cette fois d'une (belle) formule mathématique donnant le taux d'intérêts en fonction des paramètres du prêt.
Néanmoins, on sait résoudre de manière approchée ce type d'équation, à l'aide de diverses méthodes numériques: dichotomie, méthode de la sécante, méthode de Newton, …

C'est ce que propose la calculette suivante

, qui calcule une valeur approché du taux d'intérêts par dichotomie.

Pour de plus amples détails sur cette méthode de résolution numérique, et d'autres, voir un cours de méthodes numériques générales

, ou quelques TP d'introduction à la résolution numérique approchée d'équation

Assurances et frais divers

En pratique, le taux d'intérêts pratiqué par la banque n'est pas le seul élément coûteux pour l'emprunteur.
Sont aussi à prendre en compte divers autres frais, tels que frais de dossier, garantie,… ainsi qu'un élément d'une importance loin d'être négligeable: l'assurance du prêt.
L'assurance est généralement donnée en pourcentage, tout comme le taux d'intérêt.
Néanmoins, et bien au contraire du taux d'intérêt, ce taux d'assurance donne le pourcentage du montant total et initial du prêt qui doit être remboursé mensuellement.
Par exemple, pour un taux d'assurance de 0,1% assurant un prêt de C = 100 000 euros, chaque mois 0,1%×100 000 = 100 euros seront à payer en tant qu'assurance du prêt, et ce jusqu'au dernier mois même lorsque le capital restant à rembourser est devenu très faible.

Pour obtenir le taux global d'un prêt, on ne peut donc pas simplement ajouter le pourcentage donné comme taux d'intérêts pratiqué par la banque et le pourcentage de l'assurance du prêt !

Prêt emboîtés/étagés/gigognes/sur plusieurs lignes/lissés

Sachant que généralement plus un prêt est court, moins il est coûteux (taux d'intérêts bas et assurance moins onéreuse car moins risqué), est-il possible de scinder un prêt en (au moins) deux prêts dont un plus court afin d'en profiter et de minimiser le coût global ? Lire la suite…