Devoir de maths corrigé, Probabilités conditionnelles et exponentielle

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le produit scalaire et les probabilités conditionnelles et arbre de probabilités. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Arbre de probabilité et probabilités conditionnelles

Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :
  • la formation avec conduite accompagnée ;
  • la formation traditionnelle.

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :
  • 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
  • 225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l’examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.


On interroge au hasard une personne du groupe considéré, et on considère les évènements suivants :
  • $A$ : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
  • $R_1$ : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
  • $R_2$ : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
  • $R_3$ : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».

  1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
  3. Quelle est la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation.
  4. La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée?

Correction exercice 1


  1. On modélise la situation par un arbre pondéré.
    \[\begin{pspicture}(0,-2.6)(5,2.6) \psline(2,-1.5)(0,0)(2,1.5) \rput(.8,1.1){$\frac{75}{300}$}\rput(2.2,1.5){$A$} \rput(.8,-1.1){$\frac{225}{300}$}\rput(2.2,-1.5){$\overline{A}$} % \psline(2.5,1.5)(4,1.5) \psline(4,.5)(2.5,1.5)(4,2.5) \rput(4.3,2.5){$R_1$}\rput(3.3,2.4){$\frac{50}{75}$} \rput(4.3,1.5){$R_2$}\pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](3.3,1.6){.3}\rput(3.3,1.6){$\frac{25}{75}$} \rput(4.3,.5){$R_3$}\rput(3.3,.7){$0$} % \psline(2.5,-1.5)(4,-1.5) \psline(4,-.5)(2.5,-1.5)(4,-2.5) \rput(4.3,-.5){$R_1$}\rput(3.3,-.5){$\frac{100}{225}$} \rput(4.3,-1.5){$R_2$}\pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](3.3,-1.6){.3}\rput(3.3,-1.5){$\frac{75}{225}$} \rput(4.3,-2.5){$R_3$}\rput(3.3,-2.4){$\frac{50}{225}$} \end{pspicture}\]


  2. La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation est:
    \[\begin{array}{ll}P\left( A\cap R_2\rp&= P(A)\times P_{A}\left( R_2\rp\\[.3em] &=\dfrac{75}{300}\tm\dfrac{25}{75}=\dfrac{1}{12}\enar\]

  3. La probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est $P\left( R_2\rp$ soit, d'après la formule des probabilités totales,
    \[\begin{array}{ll} P\left( R_2\right) %&= P\left( A\cap R_2\right) + P\left(\overline{A}\cap R_2\right)\\ &=P(A\cap R_2)+P(\overline{A}\cap R_2)\\[.5em] &=\dfrac{75}{300}\tm\dfrac{25}{75} +\dfrac{225}{300}\tm\dfrac{75}{225}\\[1em] &=\dfrac{25}{300} + \dfrac{75}{300} =\dfrac{100}{300}=\dfrac13\enar\]

  4. La personne interrogée a réussi l'examen à sa deuxième présentation. La probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée est alors la probabilité conditionnelle:
    \[P_{R_2}(A) = \dfrac{P(A\cap R_2)}{P(R_2)}= \dfrac{\dfrac1{12}}{\dfrac13} = \dfrac3{12}=\dfrac14 \]



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Exercice 2: Courbe et tangentes de l'exponentielle

On considère la fonction exponentielle $f(x)=\exp(x)$, définie sur $\R$.
Donner les équations des tangentes à sa courbe au point d'abscisse 0 puis au point d'abscisse 1.
Tracer ces tangentes dans un repère ainsi que l'allure de la courbe de la fonction exponentielle.

Correction exercice 2


L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est
\[T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)\]

et ainsi, en 0,
\[T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)\]

avec, pour la fonction exponentielle, $f'(0)=f(0)=exp(0)=1$, d'où l'équation de la tangente
\[T_0: y=1(x-0)+1=x+1\]

De même, au point d'abscisse 1,
\[T_1: y=f'(1)(x-1)+f(1)\]

avec $f'(1)=f(1)=exp(1)=e$ et donc
\[T_1: y=e(x-1)+e=x\]

On trace alors ces deux tangentes et la courbe de l'exponentielle:
\[\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,5.5) \psline[arrowsize=8pt]{->}(-3,0)(3,0)\psline[arrowsize=8pt]{->}(0,-1)(0,5.5) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3}{2}{2.718 x exp} \rput[r](-.1,1.1){1} \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.718)(0,2.718) \rput[r](-.1,2.7){$e$}\rput(1,-.2){1} \psplot{-3}{3}{x 1 add}\rput(-1.9,-.5){$T_0$} \psplot{-3}{3}{2.718 x mul}\rput(-.5,-.5){$T_1$} \end{pspicture*}\]



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Exercice 3: Simplifier les expressions avec exponentielles

Simplifier les expressions $a=e^3\times e^6\times\dfrac{e^{-5}}{e^2}$ ,    $b=\dfrac{\left( e^x\rp^2}{e^{x+2}}$ ,    $c=(1+e^x)^2-2\dfrac{e^{3x}}{(e^x)^2}$

Correction exercice 3


$a=e^3\times e^6\times\dfrac{e^{-5}}{e^2}=e^{3+6-5-2}=e^2$
$b=\dfrac{\left( e^x\rp^2}{e^{x+2}}=\dfrac{e^{2x}}{e^{x+2}}=e^{2x-(x+2)}=e^{x-2}$
$c=(1+e^x)^2-2\dfrac{e^{3x}}{(e^x)^2}=1+2e^x+(e^x)^2-2\dfrac{e^{3x}}{e^{2x}} =1+2e^x+e^{2x}-2e^x=1+e^{2x}$

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Exercice 4: Équations et inéquations avec exponentielles

Résoudre les équations: $E_1: e^{x+1}=1$    $E_2: \left( e^{x+1}\rp^2=e^3e^x$
et les inéquations: $I_1: e^{-3x}-1\geqslant0$    $I_2: e^{2x}-e^{-x+1}\geqslant0$

Correction exercice 4


$E_1: e^{x+1}=1=e^0 \iff x+1=0 \iff x=-1$
$E_2: \left( e^{x+1}\rp^2=e^3e^x \iff e^{2(x+1)}=e^{3+x} \iff 2x+2=3+x \iff x=1$

$I_1: e^{-3x}-1\geqslant0\iff e^{-3x}\geqslant1=e^0\iff -3x\geqslant0\iff x\leqslant0$
$I_2: e^{2x}-e^{-x+1}\geqslant0 \iff e^{2x}\geqslant e^{-x+1}\iff 2x\geqslant-x+1\iff x\geqslant\dfrac13$

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Exercice 5: Sens de variation d'une fonction

Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=\dfrac{2x-3}{4x-5}$.

Correction exercice 5


On fait attention à l'ensemble de définition de cette fonction: ici la fonction $f$ est définie lorsque $4x-5\not=0$ donc pour tout réel $x\not=\dfrac54$. Son sens de variation est donné par le signe de sa dérivée.
On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x-3$ donc $u'(x)=2$, et $v(x)=4x-5$ donc $v'(x)=4$ et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
\[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2(4x-5)-(2x-3)4}{(4x-5)^2}\\ &=\dfrac2{(4x-5)^2} \enar\]

Comme pour tout $x\not=\dfrac54$ on a $(4x-5)^2>0$, on en déduit que $f'(x)>0$ et donc que $f$ est strictement croissante sur $\R\setminus\la\dfrac54\ra$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $5/4$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ & &$+$ && $+$ &\\\hline &&&\psline(0,-1.25)(0,.9)\,\psline(0,-1.25)(0,.9)&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&\\\hline\end{tabular}\]



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