Devoir de maths corrigé, Fonction exponentielle

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le produit scalaire et les probabilités conditionnelles et arbre de probabilités. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Calculs de fonctions dérivées avec exponentielles

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, sous leur forme factorisée.
a) $f(x)=3e^{2x}+4x-3$      b) $g(x)=(1+x)e^x$      c) $h(x)=2xe^{-3x^2}$

Correction exercice 1


  1. On a $f=3e^u+v$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=4x-3$ donc $v'(x)=4$.
    On a alors $f'=3u'e^u+v'$, soit
    \[f'(x)=6e^{2x}+4\]


  2. On a un produit $g=uv$ avec $u(x)=1+x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$ et alors $f'=u'v+uv'$, soit
    \[f'(x)=e^x+(1+x)e^x=(1+x)e^x\]


  3. On a $h=uv$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v=e^w$ avec $w(x)=-3x^2$ donc $w'(x)=-6x$ d'où $v'=w'e^w$ et donc $v'(x)=-6xe^{-3x^2}$.
    On a alors $f'=u'v+uv'$ soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=2e^{-3x^2}+2x\lp-6xe^{-3x^2}\rp\\&=2e^{-3x^2}\lp1-6x^2\rp\enar\]



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Exercice 2: Tableaux de signes

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, sous leur forme factorisée.
a) $f(x)=3e^{2x}+4x-3$      b) $g(x)=(1+x)e^x$      c) $h(x)=2xe^{-3x^2}$     

Correction exercice 2


  1. On a
    \[f(x)>0\iff e^{2x}>e^{-x+1}\]

    et donc, comme la fonction exponentielle est strictement croissante,
    \[f(x)>0\iff 2x>-x+1\iff x>\dfrac13\]

    et on a ainsi le tableau de signe:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $1/3$& & $+\infty$ \\\hline $f(x)$&& $-$ &0& $+$ &\\\hline \end{tabular}\]


  2. On a un produit de l'exponentielle, qui est toujours strictement positive, et d'un trinôme du second degré, de discriminant $\Delta=25>0$ et qui admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2}=-4$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2}=1$.
    On peut alors dresser le tableau de signe:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-4$&& 1 && $+\infty$ \\\hline $e^{-2x}$&& $+$ &$|$& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $x^2+3x-4$&& $+$ &0& $-$ &0& $+$ &\\\hline $g(x)$&& $+$ &0& $-$ &0& $+$ &\\\hline \end{tabular}\]

  3. Pour le dénominateur, on a $e^x-1>0\iff e^x>1=e^0\iff x>0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante.
    On a alors le tableau de signe
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$&& 0 && $+\infty$ \\\hline $e^x$&& $+$ &$|$& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $x+2$&& $-$ &0& $+$ &0& $+$ &\\\hline $e^x-1$&& $-$ &$|$& $-$ &0& $+$ &\\\hline $h(x)$&& $+$ &\db& $-$ &0& $+$ &\\\hline \end{tabular}\]



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Exercice 3: Dérivée et équations de tangentes

On considère la fonction $g$ définie par $f(x)=e^{-x^2+1}$.
Déterminer les équations des tangentes à la courbe de $f$ aux points d'abscisses $0$ et $1$.

Correction exercice 3


On $f=e^u$ avec $u(x)=-x^2+1$ donc $u'(x)=-2x$, et alors $f'=u'e^u$, soit $f'(x)=-2xe^{-x^2+1}$.
L'équation de la tangente en $a$ est $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et donc les deux équations,
en 0: avec $f'(0)=0$ et $f(0)=e^1=e$, on obtient $T_0: y=e$
en 1: avec $f'(1)=-2e^0=-2$ et $f(1)=e^0=1$, on obtient $T_1: y=-2(x-1)+1=-2x+3$

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Exercice 4: Étude de fonction avec exponentielle et position relative

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{2x}+6e^x$, et la droite $d$ d'équation $y=8x+4$.
  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
  2. On définit la fonction $g$ sur $\R$ par $g(x)=e^{2x}+6e^x-8x-4$.
    1. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=2(e^x-1)(e^x+4)$
    2. Dresser le tableau de variation de $g$.
    3. En déduire le tableau de signe de $g(x)$.

  3. Donner la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et de la droite $d$.

Correction exercice 4


  1. Pour $u(x)=e^{2x}$, on a $u=e^v$ avec $v(x)=2x$ donc $v'(x)=2$ et alors $u'=v'e^v$ soit $u'(x)=2e^{2x}$. On a alors $f'(x)=2e^{2x}+6e^x$
    Comme $e^x>0$ pour tout réel $x$, on a donc $2e^{2x}>0$ et $6e^x>0$ et donc, en ajoutant des nombres, $f'(x)>0$.
    Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    1. On a $g(x)=f(x)-8x-4$ e donc
      \[\begin{array}{ll}g'(x)&=f'(x)-8\\ &=2e^{2x}+6e^x-8\enar\]


      Par ailleurs, en développant l'expression donnée, on trouve que
      \[\begin{array}{ll}2(e^x-1)(e^x+4)&=2\left( \left( e^x\rp^2+4e^x-e^x-4\rp\\[.4em] &=2\left( e^{2x}-3e^x-4\rp\\[.4em] &=g'(x) \enar\]


    2. On a $e^x-1>0\iff e^x>1=e^0 \iff x>0$ car l'exponentielle est strictement croissante.
      On a aussi $e^x>0$ et donc $e^x+4\geqslant4>0$.

      On peut alors dresser le tableau de signe de $f'(x)$ puis des variations de $f$:
      \[\begin{tabular}{|c|lcccc|}\hline x& $-\infty$ &&0&& $+\infty$ \\\hline $e^x-1$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline $e^x+4$ && $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $g'(x)$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline &&&&&\\ $g$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&3&&\\\hline \end{tabular}\]

      Le minimum de $g$ est $g(0)=e^0+6e^0-8\tm0-4=3$
    3. D'après ce qui précède, on a trouvé que le minimum de $f$ est 3, atteint en $x=0$.
      En particulier, pour tout réel $x$, on a $f'(x)\geqslant3>0$:
      \[\begin{tabular}{|c|lcc|}\hline x& $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline $g(x)$ && $+$ &\\\hline \end{tabular}\]


  3. La position relative de ces deux courbes est donnée par le signe de la différence qui est justument la fonction $g$ étudiée précédemment, soit le signe de
    \[g(x)=f(x)-(8x+4)\]

    Comme cette expression est toujours positive, on en déduit que la courbe de $f$ est toujours au-dessus de la droite $d$.


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