Devoir de maths corrigé, Fonction exponentielle

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le produit scalaire et les probabilités conditionnelles et arbre de probabilités. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Calculs de fonctions dérivées avec exponentielles

Résoudre les équations et inéquations:
$E_1: e^{x+2}=1$  ,   $E_2: e^{3x^2-2}=\left( e^{x+3}\rp^2$  ,   $E_3: e^3e^x<1$  et $E_4: e^{3x}\leqslant\dfrac{e}{e^{x-7}}$

Correction exercice 1


  1. $e^{x+2}=1=e^0\iff x+2=0 \iff x=-2$, donc $\mathcal{S}_1=\la-2\ra$
  2. $e^{3x^2-2}=\left( e^{x+3}\rp^2=e^{2x+6}\iff 3x^2-2=2x+6$, car la fonction exponentielle est strictement croissante, et donc $E_2\iff 3x^2-2x-8=0$.
    Cette équation du second degré a pour dsicriminant $\Delta=(-2)^2-4\tm3\tm(-8)=100>0$ et admet donc deux solutions réelles $x_1=\dfrac{-(-2)-\sqrt{100}}{2\tm3}=-\dfrac86=-\dfrac43$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{100}}6=2$.
    Ainsi, $\mathcal{S}_2=\la-\dfrac43 ; 2\ra$
  3. $e^3e^x=e^{3+x}<1=e^0\iff 3+x<0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante, et donc $E_3\iff x<-3$, soit les solutions $\mathcal{S}_3=]-\infty ; -3[$
  4. En multipliant par $e^{x-7}>0$, donc l'ordre ne change pas, on obtient
    \[E_4 \iff e^{3x}e^{x-7}=e^{4x-7}\leqslant e=e^1\]

    et, comme la fonction exponentielle est strictement croissante,
    \[E_4\iff 4x-7\leqslant 1\iff x\leqslant2\]

    soit donc les solutions $\mathcal{S}_4=]-\infty ; 2]$


Cacher la correction

Exercice 2: Tableaux de signes

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=2xe^{-3x+1}$.
Préciser l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

Correction exercice 2


On a $f=uv$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=e^{-3x+1}$ soit $v=e^w$ avec $w(x)=-3x+1$ donc $w'(x)=-3$ et alors $v'=w'e^w$ soit $w'(x)=-3xe^{-3x+1}$.
On a alors $f'=u'v+uv'$, soit
\[f'(x)=2e^{-3x+1}+2x\times \lp-3e^{-3x+1}\rp=\lp -6x+2\rp e^{-3x+1}\]


L'exponentielle est toujours strictement positive, $e^{-3x+1}>0$ et on a dresse alors le tableau de signe et de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $1/3$ && $+\infty$ \\\hline $e^{-3x+1}$ && + &$|$& +&\\\hline $-6x+2$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]


L'équation de la tangente en $a$ est $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit ici avec $a=0$,
$T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)$, donc ici, avec $f'(0)=2e^1=2e$ et $f(0)=0$, on trouve l'équation $T_0: y=2ex$

Cacher la correction

Exercice 3: Dérivée et équations de tangentes

Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n\geqslant1$ par $w_n=\dfrac{n}{2^n}$.
Déterminer le sens de variation de la suite $(w_n)$.

Correction exercice 3


Pour tout entier $n\geqslant1$,
\[\begin{array}{ll}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^n}\\ &=\dfrac{1}{2^n}\left( \dfrac{n+1}{2}-n\rp\\ &=\dfrac{1}{2^n}\left( \dfrac{-n+1}{2}\rp\\ &=\dfrac{-n+1}{2^{n+1}}\enar\]


Or $n\geqslant1\iff-n+1\leqslant0$ et ainsi $w_{n+1}-w_n\leqslant0\iff w_{n+1}\leqslant w_n$, ce qui signifie exactement que la suite $(w_n)$ est décroissante.

Cacher la correction

Exercice 4: Étude de fonction avec exponentielle et position relative

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=0,1$ puis, pour tout entier naturel $n$ par la relation
\[u_{n+1}=-0,5u_n^2+1\]

Le graphique suivant donne la courbe représentant la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-0,5x^2+1$.
  1. Construire sur ce graphique, sur l'axe des abscisses, les premiers $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ de la suite $(u_n)$.
  2. Vers quelle valeur limite semble tendre cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite.


\[\psset{unit=6cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-.5,-.4)(2.3,1.5) \psline{->}(-0.5,0)(2.3,0) \psline{->}(0,-0.5)(0,1.5) \multido{\i=0+1}{3}{% \psline(\i,-0.02)(\i,0.02)% \rput(\i,-0.08){$\i$}} \multido{\i=0+1}{2}{ \psline(-0.05,\i)(0.05,\i) \rput(-0.1,\i){$\i$}} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{-0.5 #1 2 exp mul 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{7}{\f{x}} \rput(1.4,.2){$\mathcal{C}_f$} \end{pspicture*}\]


Correction exercice 4


  1. On construit graphiquement les premiers termes de la suite en s'aidant de la droite d'équation $y=x$

    \[\psset{unit=6cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-.5,-.4)(2.3,1.5) \psline{->}(-0.5,0)(2.3,0) \psline{->}(0,-0.5)(0,1.5) \multido{\i=0+1}{3}{% \psline(\i,-0.02)(\i,0.02)% \rput(\i,-0.08){$\i$} } \multido{\i=0+1}{2}{% \psline(-0.02,\i)(0.02,\i)% \rput(-0.1,\i){$\i$}% } % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{-0.5 #1 2 exp mul 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{7}{\f{x}} \rput(1.4,.2){$\mathcal{C}_f$} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-0.2}{6.5}{x} \rput(1.4,1.2){$d:y=x$} % Defintion de la fonction it\'er\'ee: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{0.1} \def\nmax{4} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,0){$\tm$} \rput(\xinit,-0.07){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.07){$u_\i$} } \end{pspicture*}\]


  2. La suite semble tendre vers la valeur $l$ qui est l'abscisse du point d'interection de la droite et de la courbe. Cette valeur $l$ est donc un point fixe pour la fonction $f$, c'est-à-dire une valeur telle que
    \[\begin{array}{ll}f(f)=l &\iff -0,5x^2+1=x\\[.4em] &\iff 0,5x^2+x-1=0\enar\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=1-4\tm0,5\tm(-1)=3>0$ et admet donc deux racines $l_1=\dfrac{-1-\sqrt3}{2\tm0,5}=-1-\sqrt3$ et $l_2=-1+\sqrt3$.
    Comme la suite semble positive, la seule valeur limité possible est $l_1=-1+\sqrt3$.


Cacher la correction

Exercice 5: Étude de fonction avec exponentielle et position relative

On définit la suite $\left( u_n\rp$ par $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+2}$. On suppose que cette suite est positive, c'est-à-dire que pour tout entier $n$, on a $u_n\geqslant0$.
  1. Calculer les valeurs exactes des deux premiers termes de la suite, $u_1$ et $u_2$.
  2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Correction exercice 5


  1. $u_1=\dfrac{2u_0}{u_0+2}=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac23$ et $u_2=\dfrac{2u_1}{u_1+2}=\dfrac{\dfrac43}{\dfrac83}=\dfrac12$
  2. On cherche le signe de la différence de deus termes consécutifs:
    \[\begin{array}{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{2u_n}{u_n+2}-u_n\\ &=\dfrac{2u_n}{u_n+2}-\dfrac{u_n(u_n+2)}{u_n+2}\\ &=\dfrac{-u_n^2}{u_n+2}\enar\]

    Or $u_n^2\geqslant0$ et donc $-u_n^2\leqslant0$ et, comme on suppose que $u_n\geqslant0$ on a aussi le dénominateur $u_n+2\geqslant2>0$.
    Finalement on a donc trouvé que $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ et donc que la suite $(u_n)$ est décroissante.


Cacher la correction


Quelques autres devoirs



Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Tangentes de l'exponentielle


Exercices corrigés
Expressions avec exponentielles à simplifiées


Exercices corrigés
Expressions avec exponentielles à simplifiées


Exercices corrigés
Deux équations avec exponentielles


Exercices corrigés
Deux équations et deux inéquations avec exponentielles





Voir aussi: