Suite récurrente, construction graphique des premiers termes

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac2x+1$ sur $]0;+\infty[$.
On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=\dfrac12$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Calculer $u_1$.
  2. Déterminer le sens de variation de $f$ puis tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère.
  3. Construire sur ce graphique les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d'ordonnées nulles et d'absisses $u_0$, $u_1$,…,$u_4$.
  4. Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.

Correction


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