Devoir de maths corrigé, Dérivées et produit scalaire

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Variation d'une fonction rationnelle et équation d'une tangente

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2+5}{x+2}$.
Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.

Correction exercice 1


$f(x)=\dfrac{x^2+5}{x+2}$. On a $f=\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=x^2+5$ donc $u'(x)=2x$, et $b(x)=x+2$ donc $v'(x)=1$.
On a donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{2x(x+2)-(x^2+5)}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x-5}{(x+2)^2}$
Le numérateur et un trinôme du second degré qui a pour discriminant a $\Delta=36>0$ et admet donc deux racines: $x=1$ et $x=-5$.
Le dénominateur s'annule en $x=-2$ qui est donc une valeur interdite.

\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-5$ && $-2$ && 1 && $+\infty$ \\\hline $x^2+4x-5$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline $(x+2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline &&&&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]


La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation $T_1: y=f'(1)(x-1)+f(1)$, avec $f(1)=\dfrac{1^2+5}{1^2+2}=2$ et $f'(1)=0$, d'où l'équation $T_1: y=2$: la tangente est horizontale.

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Exercice 2: Expressions avec exponentielles à simplifiées

Simplifier les expressions $a=\dfrac{e^3\times e^6\times e^{-5}}{e^{-2}}$ ,    $b=\dfrac{e^{1+2x}}{\left( e^{x-1}\rp^2}$ ,    $c=(1+e^x)^2-(1-e^x)^2$

Correction exercice 2


$a=\dfrac{e^3\times e^6\times e^{-5}}{e^{-2}} =e^{3+6-5-(-2)}=e^6$
$b=\dfrac{e^{1+2x}}{\left( e^{x-1}\rp^2} =\dfrac{e^{1+2x}}{e^{2(x-1)}} =e^{1+2x-2(x-1)}=e^3$
$c=(1+e^x)^2-(1-e^x)^2 =1+2e^x+\left( e^x\rp^2 - \left( 1-2e^x+\left( e^x\rp^2\rp =4e^x$

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Exercice 3: Deux équations avec exponentielles

Résoudre les équations $(E_1): e^{-x+2}-1=0$ et $(E_2): e^{x^2+x+4}=e^2e^{4x}$

Correction exercice 3


$(E_1): e^{-x+2}-1=0\iff e^{-x+2}=1=e^0\iff -x+2=0\iff x=2$
$(E_2): e^{x^2+x+4}=e^2e^{4x}=e^{2+4x}\iff x^2+x+4=2+4x\iff x^2-3x+2=0$
Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=1>0$ et admet donc deux racines $x=1$ et $x=2$ qui sont donc les solutions de $(E_2)$.

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Exercice 4: Probabilités conditionnelles: lien entre malformation cardiaque et anévrisme

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10%. L'étude a également permis de prouver que 30% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : $M$ : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C$ : « La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

    1. Quelle est la probabilité que la personne présente une malformation cardiaque de type anévrisme et soit victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie.
    2. Calculer $P(C)$.
  2. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?

Correction exercice 4


On peut construire l'arbre pondéré suivant:
\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2.)(5,2) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$M$}\rput(0.7,1.2){$0,10$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$C$}\rput(2.7,2.2){$0,30$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{C}$}\rput(2.7,0.7){$0,70$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{M}$}\rput(0.7,-1.2){$0,90$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$C$}\rput(2.7,-0.7){$0,08$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{C}$}\rput(2.7,-2.2){$0,92$} \end{pspicture}\]

    1. $P\left( M \cap C\rp=P\left( M\rp\times P_M(C)=0,1\times0,3=0,03$
    2. En utilisant l'arbre (ou d'après la formule des probabilités totales):
      \[\begin{array}{ll} P(C)&=P\left( M \cap C\right) + P\left(\overline M \cap C\right)\\[0.3cm] &= P(M)\times P_M(C) + P\lp\overline M\rp\times P_{\overline M}(C) \\[0.3cm] &= 0,1\times 0,3 + 0,9 \times 0,08 = 0,03 + 0,072 = 0,102\enar\]

  2. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. La probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme est $P_C\left( M\rp$:
    $P_C\left( M\rp=\dfrac{P\left( M \cap C\rp}{P(C)}=\dfrac{0,03}{0,102}\approx0,2941$


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ccc