Calcul des premieres termes et variation d'une suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On définit la suite $\left( u_n\rp$ par $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+2}$. On suppose que cette suite est positive, c'est-à-dire que pour tout entier $n$, on a $u_n\geqslant0$.
  1. Calculer les valeurs exactes des deux premiers termes de la suite, $u_1$ et $u_2$.
  2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.



Correction

Correction

  1. $u_1=\dfrac{2u_0}{u_0+2}=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac23$ et $u_2=\dfrac{2u_1}{u_1+2}=\dfrac{\dfrac43}{\dfrac83}=\dfrac12$
  2. On cherche le signe de la différence de deus termes consécutifs:
    \[\begin{array}{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{2u_n}{u_n+2}-u_n\\ &=\dfrac{2u_n}{u_n+2}-\dfrac{u_n(u_n+2)}{u_n+2}\\ &=\dfrac{-u_n^2}{u_n+2}\enar\]

    Or $u_n^2\geqslant0$ et donc $-u_n^2\leqslant0$ et, comme on suppose que $u_n\geqslant0$ on a aussi le dénominateur $u_n+2\geqslant2>0$.
    Finalement on a donc trouvé que $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ et donc que la suite $(u_n)$ est décroissante.


Tag:Suites

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:

Quelques devoirs