Sens de variation d'une suite homographique

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2n-1}{n+1}$.
  1. Calculer les premiers termes $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
  2. Déterminer, pour tout entier $n$, le signe de $u_{n+1}-u_n$.
    Donner alors le sens de variation de $(u_n)$.



Correction

Correction

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2n-1}{n+1}$.
  1. $u_0=\dfrac{2\tm0-1}{0+1}=-1$ ; $u_1=\dfrac{2\tm1-1}{1+1}=\dfrac12$ ; $u_2=\dfrac{2\tm2-1}{2+1}=1$
  2. Pour tout entier $n$,
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{2(n+1)-1}{(n+1)+1}-\dfrac{2n-1}{n+1}\\[1em] &=\dfrac{2n+1)}{n+2}-\dfrac{2n-1}{n+1}\\[1em] &=\dfrac{(2n+1)(n+1)-(2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}\\[1em] &=\dfrac{3}{(n+2)(n+1)} \enar\]

    Comme $n\in\N$, on a en particulier $n\geqslant0$ et donc $(n+1)\geqslant0$ et $(n+2)\geqslant0$.
    En particulier, on a $u_{n+1}-u_n\geqslant0\iff u_{n+1}\geqslant u_n$ ce qui montre que la suite $(u_n)$ est croissante.


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