Devoir de maths corrigé, Exponentielle et suites numériques
Première générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les exponentielles et les suites, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024
Exercice 1: Deux inéquations avec des exponentielles
Résoudre les inéquations:
Exercice 2: Variation d'une fonction produit et composée avec exponentielle
Étudier le sens de variation de la fonction définie par
.
Préciser l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.
On a avec donc et soit avec donc et alors soit .
On a alors , soit
On a et le premier terme est du second degré de discriminant et n'admet donc aucune racine réelle.
On a donc
La tangente a pour équation , soit avec ,
, donc ici, avec et , on trouve l'équation
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Préciser l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.
Correction exercice 2
On a avec donc et soit avec donc et alors soit .
On a alors , soit
On a et le premier terme est du second degré de discriminant et n'admet donc aucune racine réelle.
On a donc
La tangente a pour équation , soit avec ,
, donc ici, avec et , on trouve l'équation
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Exercice 3: Suite récurrente, construction graphique des premiers termes
Soit la fonction définie par sur .
On définit la suite par et, pour tout entier , par .
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On définit la suite par et, pour tout entier , par .
- Calculer .
- Déterminer le sens de variation de puis tracer l'allure de la courbe représentative de dans un repère.
- Construire sur ce graphique les points , , , et d'ordonnées nulles et d'absisses , ,…,.
- Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.
Correction exercice 3
- .
- On a d'où .
On trouve ainsi que pour tout et donc que est strictement décroissante sur cete intervalle. - On trace alors l'allure de la courbe et sur le graphique la droite d'équation et on construit les points demandés sur l'axe des abscisses.
- La suite semble tendre vers l'abscisse du point d'intersection entre la courbe de et la droite d'équation .
L'abscisse de ce point vérifie dont l'équation
soit, en multipliant par (car n'est pas solution),
Cette équation du second degré a pour discriminant et admet donc deux solutions et .
La première solution n'est pas celle recherchée, et la seule limite éventuelle est donc .
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Exercice 4: Sens de variation d'une suite
On considère la suite définie par .
On considère la suite définie par .
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- Calculer les premiers termes , et .
- Déterminer, pour tout entier , le signe de .
Donner alors le sens de variation de .
Correction exercice 4
On considère la suite définie par .
- ;
;
- Pour tout entier ,
Comme , on a en particulier et donc et .
En particulier, on a ce qui montre que la suite est croissante.
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Voir aussi: