Devoir corrigé de maths en Première générale, spécialité mathématiques

Exponentielle et suites numériques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les exponentielles et les suites, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Deux inéquations avec des exponentielles

Résoudre les inéquations: $I_1: e^{-3x}-1\geqslant0$    $I_2: \dfrac{e^{5x+2}}{e^{2(x+1)}}-e^{-x+1}\geqslant0$
Correction exercice 1
$I_1: e^{-3x+6}-1\geqslant0\iff e^{-3x+6}\geqslant1=e^0\iff -3x+6\geqslant0\iff x\leqslant2$
On a $\dfrac{e^{5x+2}}{e^{2(x+1)}}=e^{5x+2-2(x+1)}=e^{3x}$
et donc $I_2\iff e^{3x}-e^{-x+1}\geqslant0 \iff e^{3x}\geqslant e^{-x+1}\iff 3x\geqslant-x+1\iff x\geqslant\dfrac14$


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Exercice 2: Variation d'une fonction produit et composée avec exponentielle

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=2xe^{3x^2}$.
Préciser l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.
Correction exercice 2
On a $f=uv$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=e^{3x^2}$ soit $v=e^w$ avec $w(x)=3x^2$ donc $w'(x)=6x$ et alors $v'=w'e^w$ soit $w'(x)=6xe^{3x^2}$.
On a alors $f'=u'v+uv'$, soit
\[f'(x)=2e^{3x^2}+2x\times 6xe^{3x^2}=\left( 12x^2+2\right) e^{3x^2}\]


On a $e^{3x^2}>0$ et le premier terme est du second degré de discriminant $\Delta=0-4\tm12\tm2<0$ et n'admet donc aucune racine réelle.
On a donc
\[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && &$+\infty$ \\\hline $12x^2+6$ && $+$ &&\\\hline $e^x$ && $+$ &&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &&\\\hline &&&&\\ $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\\ &&&&\\\hline \end{tabular}\]


La tangente a pour équation $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit avec $a=0$,
$T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)$, donc ici, avec $f'(0)=2e^0=2$ et $f(0)=0$, on trouve l'équation $T_0: y=2x$


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Exercice 3: Suite récurrente, construction graphique des premiers termes

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac2x+1$ sur $]0;+\infty[$.
On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=\dfrac12$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Calculer $u_1$.
  2. Déterminer le sens de variation de $f$ puis tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère.
  3. Construire sur ce graphique les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d'ordonnées nulles et d'absisses $u_0$, $u_1$,…,$u_4$.
  4. Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.

Correction exercice 3
  1. $u_1=f(u_0)=f\lp\dfrac12\rp=\dfrac2{\dfrac12}+1=5$.
  2. On a $f=2\tm\dfrac1x+1$ d'où $f'(x)=2\dfrac{-1}{x^2}=\dfrac{-2}{x^2}$.
    On trouve ainsi que $f'(x)<0$ pour tout $x\in]0;+\infty[$ et donc que $f$ est strictement décroissante sur cete intervalle.
  3. On trace alors l'allure de la courbe et sur le graphique la droite d'équation $y=x$ et on construit les points demandés sur l'axe des abscisses.


    \[\psset{arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-1,-1)(6,6) \psline{->}(-1,0)(6,0) \psline{->}(0,-1)(0,6) \multido{\i=1+1}{5}{\rput(\i,-.3){\i}\psline(\i,-.08)(\i,.05)} \multido{\i=1+1}{5}{\rput[r](-.1,\i){\i}\psline(-.08,\i)(.05,\i)} %\psplot{.1}{5}{2 x div 1 add} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{2 #1 div 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{0.1}{7}{\f{x}} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-.5}{6.5}{x} % Defintion de la fonction it\'er\'ee: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{.5} \def\nmax{4} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$A_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$A_\i$} } \end{pspicture*}\]


  4. La suite semble tendre vers l'abscisse du point d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite d'équation $y=x$.
    L'abscisse de ce point vérifie dont l'équation
    \[f(x)=x\iff\dfrac2x+1=x\]

    soit, en multipliant par $x\not=0$ (car $x=0$ n'est pas solution),
    \[2+x=x^2\iff x^2-x-2=0\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux solutions $x_1=-1$ et $x_2=2$.
    La première solution $x_1<0$ n'est pas celle recherchée, et la seule limite éventuelle est donc $x_2=2$.



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Exercice 4: Sens de variation d'une suite

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2n-1}{n+1}$.
  1. Calculer les premiers termes $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
  2. Déterminer, pour tout entier $n$, le signe de $u_{n+1}-u_n$.
    Donner alors le sens de variation de $(u_n)$.

Correction exercice 4
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2n-1}{n+1}$.
  1. $u_0=\dfrac{2\tm0-1}{0+1}=-1$ ; $u_1=\dfrac{2\tm1-1}{1+1}=\dfrac12$ ; $u_2=\dfrac{2\tm2-1}{2+1}=1$
  2. Pour tout entier $n$,
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{2(n+1)-1}{(n+1)+1}-\dfrac{2n-1}{n+1}\\[1em] &=\dfrac{2n+1)}{n+2}-\dfrac{2n-1}{n+1}\\[1em] &=\dfrac{(2n+1)(n+1)-(2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}\\[1em] &=\dfrac{3}{(n+2)(n+1)} \enar\]

    Comme $n\in\N$, on a en particulier $n\geqslant0$ et donc $(n+1)\geqslant0$ et $(n+2)\geqslant0$.
    En particulier, on a $u_{n+1}-u_n\geqslant0\iff u_{n+1}\geqslant u_n$ ce qui montre que la suite $(u_n)$ est croissante.



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Voir aussi:
ccc