Devoir corrigé de maths en Première générale, spécialité mathématiques

Exponentielle et probabilités conditionnelles

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Deux équations et deux inéquations avec exponentielles

Résoudre les équations: $E_1: e^{x+1}=1$    $E_2: \left( e^{x+1}\rp^2=e^3e^x$
et les inéquations: $I_1: e^{-3x}-1\geqslant0$    $I_2: e^{2x}-e^{-x+1}\geqslant0$
Correction exercice 1
$E_1: e^{x+1}=1=e^0 \iff x+1=0 \iff x=-1$
$E_2: \left( e^{x+1}\rp^2=e^3e^x \iff e^{2(x+1)}=e^{3+x} \iff 2x+2=3+x \iff x=1$

$I_1: e^{-3x}-1\geqslant0\iff e^{-3x}\geqslant1=e^0\iff -3x\geqslant0\iff x\leqslant0$
$I_2: e^{2x}-e^{-x+1}\geqslant0 \iff e^{2x}\geqslant e^{-x+1}\iff 2x\geqslant-x+1\iff x\geqslant\dfrac13$


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Exercice 2: sens de variation de fonctions composées avec exponentielles et équations de tangentes

On considère la fonction $g$ définie par $f(x)=e^{-x^2+1}$.
Déterminer les équations des tangentes à la courbe de $f$ aux points d'abscisses $0$ et $1$.
Correction exercice 2
On $f=e^u$ avec $u(x)=-x^2+1$ donc $u'(x)=-2x$, et alors $f'=u'e^u$, soit $f'(x)=-2xe^{-x^2+1}$.
L'équation de la tangente en $a$ est $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et donc les deux équations,
en 0: avec $f'(0)=0$ et $f(0)=e^1=e$, on obtient $T_0: y=e$
en 1: avec $f'(1)=-2e^0=-2$ et $f(1)=e^0=1$, on obtient $T_1: y=-2(x-1)+1=-2x+3$


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Exercice 3: Variation d'une fonction produit avec exponentielle

Étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie par $g(x)=(x^2-3)e^x$
Correction exercice 3
On a $g=uv$ avec $u(x)=x^2-3$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$.
Ainsi, $g'=u'v+uv'$, soit $g'(x)=2xe^x+(x^2-3)e^x=(x^2+2x-3)e^x$
On a $e^x>0$ et le premier terme est du second degré de discriminant $\Delta=16>0$ et admet donc deux racines $x_1=1$ et $x_2=-3$.

\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-3$ && 1 &&$+\infty$ \\\hline $x^2+2x-3$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$ &\\\hline $e^x$ && $+$&$|$& $+$ & $|$ & $+$&\\\hline $g'(x)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$ &\\\hline &&&&&&&\\ $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]




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Exercice 4: Probabilités conditionnelles: Vélo ou bus pour se rendre au lycée

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8h00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.
L'élève part tous les jours à 7h40 de son domicile et doit arriver à 8h00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4% des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5% des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note les événements
$V$: « L'élève se rend au lycée à vélo»
$B$: « l'élève se rend au lycée en bus»
$R$: « L’élève arrive en retard au lycée».
  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
  2. Déterminer la probabilité de l’événement $V\cap R$.
  3. Démontrer que la probabilité de l’événement R est 0,0192
  4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus ?

Correction exercice 4

  1. \[\psset{xunit=1cm,yunit=.6cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$V$}\rput(.7,1.3){$7/10$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$R$}\rput(2.7,2.3){$0,6\%$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{R}$}\rput(2.7,.6){$99,4\%$} \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$B$}\rput(.7,-1.3){$3/10$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$R$}\rput(2.7,-.6){$5\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{R}$}\rput(2.7,-2.4){$95\%$} \end{pspicture}\]

  2. $P(V\cap R) = 7/10\tm0,6\%=0,42\%$
  3. D'après la formule des probabilités totales, $P(R)= 7/10\tm0,6\% + 3/10\tm5\% = 1,92\% = 0,0192$
  4. On cherche la probabilité conditionnelle $P_R(B)=\dfrac{P(R\cap B)}{P(R)}=\dfrac{3/10\tm5\%}{0,0192} \simeq 0,78 = 78\%$



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Exercice 5: Etude d'une fonction rationnelle avec exponentielles

On considère la fonction $h$ définie par l'expression $h(x)=\dfrac{1+2e^{-x}}{1+e^{-x}}$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $h(x)=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$.
Étudier alors les variations de $h$.
Correction exercice 5
On a $h(x)=\dfrac{1+2e^{-x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x\lp1+2e^{-x}\right)}{e^x\lp1+e^{-x}\right)}=\dfrac{e^x+2e^0}{e^x+e^0}=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$.
On a $g=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^x+2$, donc $u'(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$, donc $v'(x)=e^x$.
On obtient alors $g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit $g'(x)=\dfrac{e^x\left( e^x+1\rp-\left( e^x+2\rp e^x}{\left( e^x+1\rp^2} =\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$
De plus, pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ et donc $e^x+1>1$ et en particulier $e^x+1\not=0$ et donc $(e^x+1)^2>0$.

\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline $-e^x$ && $-$ &\\\hline $\left( e^x+1\rp^2$ && $+$ &\\\hline $g'(x)$ && $-$ &\\\hline &2&&\\ $g$&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&1\\\hline \end{tabular}\]




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Voir aussi:
ccc