Réunion et intersection, cartes à puces avec deux défauts

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B. Une étude statistique montre que 2,8% des puces ont le défaut A, 2,2% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4% des puces n'ont aucun des deux défauts.
Quelle est la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts ?


Correction

Correction

(D'après Bac centres étrangers, 9 juin 2021)
On note A et B les événements: "la puce a le défaut A" et "la puce a le défaut B", et l'énoncé se traduit alors par $P(A)=2,2\%$, $P(B)=95,4\%$ et $P\lp\overline{A}\cap\overline{B}\rp=95,4\%$, ou encore le diagramme de Venn
\[\begin{pspicture}(-4.2,-2)(4.2,2) \pspolygon[fillstyle=solid,,fillcolor=lightgray](-4,2)(4,2)(4,-2)(-4,-2) \rput[l](-3.8,1.6){95,4\%} \psellipse[fillstyle=solid,,fillcolor=white](-1,0)(1.8,1) \rput[l](-2.4,.3){A} \rput[l](-2.4,-.1){2,8\%} \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,0)(1.8,1) \rput[r](2.4,.3){B} \rput[r](2.4,-.1){2,2\%} \begin{psclip}{% \psellipse(-1,0)(1.8,1)} \psellipse[fillstyle=vlines](1,0)(1.8,1) \end{psclip} \psellipse[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](0.05,0)(.25,.3) \rput(0,0){\large\bf\red ?} \end{pspicture} \]

En utilisant le diagramme de Venn précédent, on a $P(A\cup B)=1-95,4\%=4,6\%$ puis
\[P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) =2,8\%+2,2\%-4,6\%=0,4\%\]

La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est donc de 0,4%.


Tag:Probabilités conditionnelles

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