Devoir corrigé de maths en Première générale, spécialité mathématiques
Dérivées et produit scalaire
Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024Exercice 1: Variation d'une fonction
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie par
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation/1.png)
![$f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation/2.png)
Correction exercice 1
.
On a
, d'où
,
soit
Le numérateur et un trinôme du second degré qui admet deux racines:
donc
et
.
Le dénominateur s'annule en
qui est donc une valeur interdite.
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 0 && 2 && 4 && $+\infty$ \\\hline
$x^2-4x$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x-2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
&&&&&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/9.png)
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![$f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/1.png)
On a
![$f=u+4\dfrac1v$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/2.png)
![$f'=u'+4\dfrac{-v'}{v^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/3.png)
![$f'(x)=1+4\dfrac{-1}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/4.png)
Le numérateur et un trinôme du second degré qui admet deux racines:
![$x^2-4x=0\iff x(x-4)=0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/5.png)
![$x=0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/6.png)
![$x=4$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/7.png)
Le dénominateur s'annule en
![$x=2$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/8.png)
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 0 && 2 && 4 && $+\infty$ \\\hline
$x^2-4x$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x-2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
&&&&&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvariation_c/9.png)
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Exercice 2: Expressions avec exponentielles à simplifiées
Exercice 3: Réunion et intersection: gâteaux à la crème et/ou aux fruits
Dans une patisserie, il reste 60 petits gâteaux.
La patissière m'informe que parmi ces gâteaux restants,
45 gâteaux sont à base de crème, 12 contiennent des fruits
et que 7 ne contiennent ni crème ni fruits.
Comme je suis pressé et affamé, et que la vitrine ne me semble pas
très ordonnée, je désigne au hasard un gâteau.
- Donner la probabilité que mon gâteau soit à la crème mais sans fruits.
- Avant de commencer à manger mon gâteau, je m'aperçois qu'il est aux fruits. Quelle est la probabilité qu'il contienne de la crème ?
Correction exercice 3
: "à la crème"  
: "avec des fruits"
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![$C$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/exG_c/1.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/exG_c/2.png)
Avec un diagramme: ![]() |
Avec un tableau: ![]() |
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Exercice 4: Probabilités conditionnelles: Efficacité de stages de révision dans une université
Des étudiants sont inscrits en L1 dans une université.
À l'approche des examens, un stage de révision est organisé. L'expérience montre que 3/4 des étudiants ayant suivi le stage de révision réussissent leurs examens et 1/3 des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne réussissent pas leurs examens.
On sait de plus que 20% des étudiants de L1 suivent le stage de révision.
On choisit un étudiant au hasard et on considère les évènements : A : « l'étudiant a suivi le stage de révision» et B : « l'étudiant a réussi ses examens».
On choisit un étudiant au hasard et on considère les évènements : A : « l'étudiant a suivi le stage de révision» et B : « l'étudiant a réussi ses examens».
- Construire un arbre de probabilité traduisant la situation étudiée.
- Si l'étudiant choisi a suivi le stage, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas réussi ses examens ?
- Quelle est la probabilité que l'étudiant choisi ait suivi le stage et réussi ses examens ?
- Quelle est la probabilité que l'étudiant choisi ait réussi ses examens ?
- Sachant que l'étudiant choisi a réussi ses examens, quelle est la probabilité qu'il ait suivi le stage ?
- (Bonus) L'université trouve que les résultats aux examens de L1 sont trop faibles et aimerait inciter plus d'étudiants à s'inscrire au stage de révision afin qu'au moins 70% des étudiants de L1 réussissent leurs examens. Sachant qu’il y a 300 étudiants inscrits en L1, combien de places faudra-t-il prévoir au minimum lors du stage pour espérer atteindre cet objectif ?
Correction exercice 4
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-
- Sachant que l'étudiant choisi a suivi le stage, la probabilité qu'il n'ait pas réussi ses examens est déjà inscrite dans l'arbre
- La probabilité que l'étudiant choisi ait suivi le stage et réussi ses examens est
- La probabilité que l'étudiant choisi ait réussi ses examens est, d'après la formule des probabilités totales,
- Sachant que l'étudiant choisi a réussi ses examens, la probabilité qu'il ait suivi le stage est
- On note
le nombre de places au stage, et on a alors l'arbre
On veut maintenant que, avec
et donc
Il faudra donc pévoir 120 places pour arriver à ce taux de réussite.
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Voir aussi: