Devoir de maths corrigé, Produit scalaire et probabilités conditionnelles

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le produit scalaire et les probabilités conditionnelles et arbre de probabilités. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Probabilités: réunion, intersection, probabilité du contraire et indépendance de deux événements

Soit $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A)=0,3$, $P(A\cup B)=0,7$ et $P(A\cap B)=0,2$.
  1. Calculer $P\lp\overline{B}\rp$.
  2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Correction exercice 1


  1. On a $P\left( A\cup B\rp=P(A)+P(B)-P\left( A\cap B\rp$
    soit aussi $P(B)=P\left( A\cup B\rp-P(A)+P\left( A\cap B\rp =0,7-0,3+0,2=0,6$.
    On a alors, $P\lp\overline{B}\rp=1-P(B)=0,4$.
  2. On a donc $P(B)=0,6$ et $P(A)=0,3$ d'où $P(A)P(B)=0,18$.
    Or $P(A\cap B)=0,2\not=P(A)P(B)$, ce qui montre que les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.


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Exercice 2: Vélo ou bus pour se rendre au lycée: arbre de probabilités et probabilité conditionnelles

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8h00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.
L'élève part tous les jours à 7h40 de son domicile et doit arriver à 8h00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4% des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5% des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note les événements
$V$: « L'élève se rend au lycée à vélo»
$B$: « l'élève se rend au lycée en bus»
$R$: « L’élève arrive en retard au lycée».
  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
  2. Déterminer la probabilité de l’événement $V\cap R$.
  3. Démontrer que la probabilité de l’événement R est 0,0192
  4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus ?

Correction exercice 2



  1. \[\psset{xunit=1cm,yunit=.6cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$V$}\rput(.7,1.3){$7/10$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$R$}\rput(2.7,2.3){$0,6\%$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{R}$}\rput(2.7,.6){$99,4\%$} \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$B$}\rput(.7,-1.3){$3/10$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$R$}\rput(2.7,-.6){$5\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{R}$}\rput(2.7,-2.4){$95\%$} \end{pspicture}\]

  2. $P(V\cap R) = 7/10\tm0,6\%=0,42\%$
  3. D'après la formule des probabilités totales, $P(R)= 7/10\tm0,6\% + 3/10\tm5\% = 1,92\% = 0,0192$
  4. On cherche la probabilité conditionnelle $P_R(B)=\dfrac{P(R\cap B)}{P(R)}=\dfrac{3/10\tm5\%}{0,0192} \simeq 0,78 = 78\%$


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Exercice 3: Produit scalaire: règles de calculs

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\lp\begin{array}{c}3\\-2\enar\rp$ et $\vec{v}\lp\begin{array}{c}2\\3\enar\rp$.
  1. Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? orthogonaux ?
  2. Calculer $\vec{u}^2$, $\vec{v}^2$, $\vec{u}\cdot\lp\vec{u}+5\vec{v}\rp$ et $\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2$.
  3. Les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

Correction exercice 3


Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\lp\begin{array}{c}3\\-2\enar\rp$ et $\vec{v}\lp\begin{array}{c}2\\3\enar\rp$.
  1. Le déterminant de ces deux vecteurs est
    \[\det\lp\vec{u},\vec{v}\rp=3\tm3-2\tm(-2)=13\not=0\]

    et ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    Par ailleurs, leur produit scalaire vaut
    \[\vec{u}\cdot\vec{v}=3\tm2+(-2)\tm3=0\]

    ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux.
  2. On calcule
    \[\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=3^2+(-2)^2=13\]

    et
    \[\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}=2^2+3^2=13=\vec{u}^2\]

    puis, en développant
    \[\vec{u}\cdot\lp\vec{u}+5\vec{v}\rp=\vec{u}^2+5\vec{u}\cdot\vec{v} =13+0=13\]

    De même, en développant l'identité remarquable
    \[\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2=\vec{u}^2-6\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{v}^2\]

    avec $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ et $\vec{u}^2=\vec{v}^2=13$ d'où,
    \[\begin{array}{ll}\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2&=13-0+9\tm13\\&=10\tm13=130\enar\]

  3. On calcule le produit scalaire, en utilisant l'identité remarquable,
    \[\begin{array}{ll}\lp\vec{u}+\vec{v}\rp\cdot\lp\vec{u}-\vec{v}\rp &=\vec{u}^2-\vec{v}^2\\&=13-13=0\enar\]

    ce qui montre que les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont orthogonaux.


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Exercice 4: Projeté orthogonal sur une droite et calcul d'un angle avec le produit scalaire

Dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère la droite $d$ d’équation $y=2x+6$ et les points $A(-2;-3)$ et $B(-3;1)$.
On note de plus $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
  1. Donner les coordonnées de deux points de $d$ et faire une figure complète.
  2. Déterminer les coordonnées du point $H$.
  3. Calculer une valeur approchée de l'angle $\widehat{AHB}$.

Correction exercice 4


Dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère la droite $d$ d’équation $y=2x+6$ et les points $A(-2;-3)$ et $B(-3;1)$.
On note de plus $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
  1. Pour $x=0$, on a $y=2x+6=6$ donc le point $C(0;6)$ appartient à $d$, et de même, par exemple pour $x=1$ on a $y=2x+6=8$ donc le point $D(1;8)$ appartient aussi à $d$.

    On place tous les points, la droite $d$, et le projeté orthogonal $H$ sur une figure,
    \[\psset{arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-5,-5)(3,10) \psline{->}(-5,0)(3,0) \psline{->}(0,-5)(0,10) \rput(-.2,-.2){$O$} \psline(1,-.1)(1,.1)\rput(1,-.3){1} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput[r](-.2,1){1} \rput(-2,-3){$\tm$}\rput(-1.7,-2.8){$A$} \rput(-3,1){$\tm$}\rput(-3.2,1.2){$B$} \rput(.3,5.9){$C$} \rput(1,8){$\tm$}\rput(1.2,7.8){$D$} \psplot{-5}{5}{2 x mul 6 add}\rput(-4.9,-3.2){$d$} \psline(-.1,6)(.1,6)\rput[r](-.1,6){6} \rput(-4,-2){$\tm$}\rput(-4.25,-1.9){$H$} \psline(-2,-3)(-4,-2) \psline(-3.87,-1.74)(-3.56,-1.9)(-3.68,-2.15) \end{pspicture*}\]

  2. Soit $H(x;y)$ alors on sait que $H\in d\iff y=2x+6$ et aussi que $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{CD}$.
    Ainsi, avec $\overrightarrow{AH}\lp\begin{array}{c}x+2\\y+3\enar\rp$ et $\overrightarrow{CD}\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$, on obtient l'équation
    \[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{CD}=0&\iff 1(x+2)+2(y+3)=0\\ &\iff x+2y+8=0\enar\]


    En substituant alors avec l'équation de la droite $d: y=2x+6$, on a alors
    \[x+2(2x+6)+8=0\iff x=-\dfrac{20}5=-4\]

    et alors aussi $y=2x+6=-2$.
    On a ainsi trouvé le point $H(-4;-2)$.
  3. En utilisant le produit scalaire
    \[\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=AH\times HB\times \cos\lp\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB}\rp\]

    soit, avec $\overrightarrow{HA}\lp\begin{array}{c}2;-1\enar\rp$ et $\overrightarrow{HB}\lp\begin{array}{c}1;3\enar\rp$ on a d'une part
    \[\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=2\tm1+(-1)\tm3=-1\]

    et par ailleurs $HA=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5$ et $HB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ d'où
    \[\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\sqrt5\sqrt{10}\cos\widehat{AHB}\]

    soit
    \[\cos\widehat{AHB}=\dfrac{\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}}{\sqrt5\sqrt{10}} =\dfrac{-1}{\sqrt{50}}\]

    et on trouve, à l'aide de la calculatrice $\widehat{AHB}\simeq98^\circ$


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Quelques autres devoirs



Quelques exercices corrigés

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Droites perpendiculaires ou parallèles


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Projeté orthogonal sur une droite et calcul d'un angle





Voir aussi: