Devoir corrigé de maths en Première générale, spécialité mathématiques
Dérivées et produit scalaire
Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024Exercice 1: Variation de l'inverse d'un trinome et équation d'une tangente
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie par
.
Soit
le point de la courbe de
et d'abscisse nulle.
Déterminer les coordonnées de
et l'équation de la tangente à la courbe de
au point
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/1.png)
![$f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/2.png)
Soit
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/3.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/4.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/5.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/6.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/7.png)
Correction exercice 1
Soit
.
On a
avec
et donc
.
On trouve alors
,
soit
Pour le dénominateur, on a
,
avec le trinôme
qui a pour discriminant
et qui admet donc deux racines réelles distinctes
et
.
On dresse alors le tableau de variation:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline
$-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline
$2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline
&&&&&$-3$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/12.png)
On a
, soit
.
La tangente en
a pour équation
![\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/16.png)
Cacher la correction
Soit
![$f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/1.png)
![$f=3\tm\dfrac1u$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/2.png)
![$u(x)=x^2-4x+3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/3.png)
![$u'(x)=2x-4$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/4.png)
On trouve alors
![$f'=3\tm\dfrac{-u'}{u^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/5.png)
![$f'(x)=\dfrac{-3(2x-4)}{(x^2-4x+3)^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/6.png)
Pour le dénominateur, on a
![$(x^2-4x+3)^2\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/7.png)
![$x^2-4x+3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/8.png)
![$\Delta=4>0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/9.png)
![$x_1=1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/10.png)
![$x_2=3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/11.png)
On dresse alors le tableau de variation:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline
$-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline
$2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline
&&&&&$-3$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/12.png)
On a
![$A(0;f(0))$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/13.png)
![$A(0;1)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/14.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/15.png)
![\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/16.png)
Cacher la correction
Exercice 2: Valeur approchée d'un angle avec le produit scalaire
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points
,
et
.
Donner une valeur de l'angle
au dixième de degré près.
![$A(3;-2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/1.png)
![$B(5;2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/2.png)
![$C(-1;1)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/3.png)
Donner une valeur de l'angle
![$\widehat{BAC}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/4.png)
Correction exercice 2
Soit les points
,
et
,
on a donc
et
d'où
On a aussi
,
avec
et
,
d'où
.
On a alors, en utilisant la question précédente,
![\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/11.png)
soit aussi
![\[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/12.png)
Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
Cacher la correction
Soit les points
![$A(3;-2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/1.png)
![$B(5;2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/2.png)
![$C(-1;1)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/3.png)
![$\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\4\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/4.png)
![$\overrightarrow{AC}\lp\begin{array}{c}-4\\3\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/5.png)
d'où
![$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\tm(-4)+4\tm3=4$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/6.png)
On a aussi
![$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/7.png)
avec
![$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/8.png)
![$AC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/9.png)
![$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/10.png)
On a alors, en utilisant la question précédente,
![\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/11.png)
soit aussi
![\[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/12.png)
Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
![$\widehat{BAC}\simeq79,7^\circ$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/13.png)
Cacher la correction
Exercice 3: Probabilités conditionnelles: organisation d'un concert de musique
Un groupe d'élèves d'une classe de première générale veut organiser un concert de musique à l'intérieur du lycée.
Il fait une enquête pour connaître le nombre d'élèves souhaitant assister à ce concert.
450 élèves ont répondu à cette enquête, 180 garçons et 270 filles. 144 filles et 72 garçons sont favorables et souhaitent assister au concert.
Par la suite, on note les événements:
: « l'élève est un garçon»
: « l'élève souhaite assister au concert»
450 élèves ont répondu à cette enquête, 180 garçons et 270 filles. 144 filles et 72 garçons sont favorables et souhaitent assister au concert.
Par la suite, on note les événements:
![$G$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/exconcert/1.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/exconcert/2.png)
- On prend la fiche au hasard d'un élève ayant répondu à cette enquête.
Donner les probabilités,
,
et
.
- Les événements
et
sont-ils indépendants ?
- Calculer la probabilité
, et interpréter cette probabilité (avec une phrase).
- Au concert, un élève devant moi me dérange. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
Correction exercice 3
Cacher la correction
- On a
,
,
et donc
- On a
et
, donc ces événements ne sont pas indépendants.
-
.
Ainsi, sachant qu'on parle d'un garçon, la probabilité qu'il souhaite assister au concert est de 40%.
- On cherche la probabilité conditionnelle
Cacher la correction
Exercice 4: Réunion et intersection, cartes à puces avec deux défauts
Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B. Une étude statistique montre que 2,8% des puces ont le défaut A, 2,2% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4% des puces n'ont aucun des deux défauts.
Quelle est la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts ?
Quelle est la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts ?
Correction exercice 4
(D'après Bac centres étrangers, 9 juin 2021)
On note A et B les événements: "la puce a le défaut A" et "la puce a le défaut B", et l'énoncé se traduit alors par
,
et
,
ou encore le diagramme de Venn
![\[\begin{pspicture}(-4.2,-2)(4.2,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,,fillcolor=lightgray](-4,2)(4,2)(4,-2)(-4,-2)
\rput[l](-3.8,1.6){95,4\%}
\psellipse[fillstyle=solid,,fillcolor=white](-1,0)(1.8,1)
\rput[l](-2.4,.3){A}
\rput[l](-2.4,-.1){2,8\%}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,0)(1.8,1)
\rput[r](2.4,.3){B}
\rput[r](2.4,-.1){2,2\%}
\begin{psclip}{%
\psellipse(-1,0)(1.8,1)}
\psellipse[fillstyle=vlines](1,0)(1.8,1)
\end{psclip}
\psellipse[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](0.05,0)(.25,.3)
\rput(0,0){\large\bf\red ?}
\end{pspicture}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/4.png)
En utilisant le diagramme de Venn précédent, on a
puis
![\[P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)
=2,8\%+2,2\%-4,6\%=0,4\%\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/6.png)
La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est donc de 0,4%.
Cacher la correction
(D'après Bac centres étrangers, 9 juin 2021)
On note A et B les événements: "la puce a le défaut A" et "la puce a le défaut B", et l'énoncé se traduit alors par
![$P(A)=2,2\%$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/1.png)
![$P(B)=95,4\%$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/2.png)
![$P\lp\overline{A}\cap\overline{B}\rp=95,4\%$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/3.png)
![\[\begin{pspicture}(-4.2,-2)(4.2,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,,fillcolor=lightgray](-4,2)(4,2)(4,-2)(-4,-2)
\rput[l](-3.8,1.6){95,4\%}
\psellipse[fillstyle=solid,,fillcolor=white](-1,0)(1.8,1)
\rput[l](-2.4,.3){A}
\rput[l](-2.4,-.1){2,8\%}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,0)(1.8,1)
\rput[r](2.4,.3){B}
\rput[r](2.4,-.1){2,2\%}
\begin{psclip}{%
\psellipse(-1,0)(1.8,1)}
\psellipse[fillstyle=vlines](1,0)(1.8,1)
\end{psclip}
\psellipse[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](0.05,0)(.25,.3)
\rput(0,0){\large\bf\red ?}
\end{pspicture}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/4.png)
En utilisant le diagramme de Venn précédent, on a
![$P(A\cup B)=1-95,4\%=4,6\%$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/5.png)
![\[P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)
=2,8\%+2,2\%-4,6\%=0,4\%\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap7/expuces_c/6.png)
La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est donc de 0,4%.
Cacher la correction
Voir aussi: