Devoir de maths corrigé, Dérivées et produit scalaire

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Variation de l'inverse d'un trinome et équation d'une tangente

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$.

Soit $A$ le point de la courbe de $f$ et d'abscisse nulle. Déterminer les coordonnées de $A$ et l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $A$.

Correction exercice 1


Soit $f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$. On a $f=3\tm\dfrac1u$ avec $u(x)=x^2-4x+3$ et donc $u'(x)=2x-4$.
On trouve alors $f'=3\tm\dfrac{-u'}{u^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{-3(2x-4)}{(x^2-4x+3)^2}$
Pour le dénominateur, on a $(x^2-4x+3)^2\geqslant0$, avec le trinôme $x^2-4x+3$ qui a pour discriminant $\Delta=4>0$ et qui admet donc deux racines réelles distinctes $x_1=1$ et $x_2=3$.
On dresse alors le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline $-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline $2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline $f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline &&&&&$-3$&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]




On a $A(0;f(0))$, soit $A(0;1)$. La tangente en $A$ a pour équation
\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]



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Exercice 2: Valeur approchée d'un angle avec le produit scalaire

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points $A(3;-2)$, $B(5;2)$ et $C(-1;1)$.
Donner une valeur de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près.

Correction exercice 2


Soit les points $A(3;-2)$, $B(5;2)$ et $C(-1;1)$, on a donc $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\4\enar\rp$ et $\overrightarrow{AC}\lp\begin{array}{c}-4\\3\enar\rp$
d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\tm(-4)+4\tm3=4$
On a aussi $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$,
avec $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ et $AC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$, d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$.

On a alors, en utilisant la question précédente,
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]

soit aussi
\[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]

Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle $\widehat{BAC}\simeq79,7^\circ$

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Exercice 3: Probabilités conditionnelles: organisation d'un concert de musique

Un groupe d'élèves d'une classe de première générale veut organiser un concert de musique à l'intérieur du lycée. Il fait une enquête pour connaître le nombre d'élèves souhaitant assister à ce concert.
450 élèves ont répondu à cette enquête, 180 garçons et 270 filles. 144 filles et 72 garçons sont favorables et souhaitent assister au concert.
Par la suite, on note les événements:
$G$: « l'élève est un garçon»
$A$: « l'élève souhaite assister au concert»
  1. On prend la fiche au hasard d'un élève ayant répondu à cette enquête.
    Donner les probabilités $P(G)$, $P(A)$, $P(G\cap A)$ et $P(G\cup A)$.
  2. Les événements $G$ et $A$ sont-ils indépendants ?
  3. Calculer la probabilité $P_G(A)$, et interpréter cette probabilité (avec une phrase).
  4. Au concert, un élève devant moi me dérange. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?

Correction exercice 3


  1. On a $P(G)=\dfrac{180}{450}=0,4$, $P(A)=\dfrac{144+72}{450}=\dfrac{216}{450}=0,48$, $P(G\cap A)=\dfrac{72}{450}=0,16$ et donc
    \[P(G\cup A)=P(G)+P(A)-P(G\cap A)=0,72\]


  2. On a $P(G\cap A)=0,16$ et $P(G)\times P(A)=0,4\times0,48=0,192$, donc ces événements ne sont pas indépendants.
  3. $P_G(A)=\dfrac{P(G\cap A)}{P(G)}=\dfrac{0,16}{0,4}=0,4$.
    Ainsi, sachant qu'on parle d'un garçon, la probabilité qu'il souhaite assister au concert est de 40%.
  4. On cherche la probabilité conditionnelle
    \[P_A(G)=\dfrac{P(A\cap G)}{P(A)}=\dfrac{0,16}{0,48}\simeq0,33\]



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Exercice 4: Réunion et intersection, cartes à puces avec deux défauts

Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B. Une étude statistique montre que 2,8% des puces ont le défaut A, 2,2% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4% des puces n'ont aucun des deux défauts.
Quelle est la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts ?

Correction exercice 4


(D'après Bac centres étrangers, 9 juin 2021)
On note A et B les événements: "la puce a le défaut A" et "la puce a le défaut B", et l'énoncé se traduit alors par $P(A)=2,2\%$, $P(B)=95,4\%$ et $P\lp\overline{A}\cap\overline{B}\rp=95,4\%$, ou encore le diagramme de Venn
\[\begin{pspicture}(-4.2,-2)(4.2,2) \pspolygon[fillstyle=solid,,fillcolor=lightgray](-4,2)(4,2)(4,-2)(-4,-2) \rput[l](-3.8,1.6){95,4\%} \psellipse[fillstyle=solid,,fillcolor=white](-1,0)(1.8,1) \rput[l](-2.4,.3){A} \rput[l](-2.4,-.1){2,8\%} \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,0)(1.8,1) \rput[r](2.4,.3){B} \rput[r](2.4,-.1){2,2\%} \begin{psclip}{% \psellipse(-1,0)(1.8,1)} \psellipse[fillstyle=vlines](1,0)(1.8,1) \end{psclip} \psellipse[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](0.05,0)(.25,.3) \rput(0,0){\large\bf\red ?} \end{pspicture} \]

En utilisant le diagramme de Venn précédent, on a $P(A\cup B)=1-95,4\%=4,6\%$ puis
\[P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) =2,8\%+2,2\%-4,6\%=0,4\%\]

La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est donc de 0,4%.

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