Etude complète exponentielle, tangente et courbe

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left( x^2-3x+1\right) e^x$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Dresser le tableau de variation de $f$.
  2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
  3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées.
  4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
  5. Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ en prenant soin de représenter tous les résultats précédents.



Correction

Correction

  1. On calcule la fonction dérivée de $f$. On a le produit $f=uv$ avec $u(x)=x^2-3x+1$ donc $u'(x)=2x-3$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$, et alors $f'=u'v+uv-$ soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=(2x-3)e^x+\left( x^2-3x+1\right) e^x\\[.6em] &=\left( x^2-x-2\right) e^x\enar\]


    L'expoentielle est toujours strictement positive, $e^x>0$, et le premier terme du produit est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=9>0$ et qui admet donc deux racines $x_1=-1$ et $x_2=2$.
    On dresse alors le tableau de signe du produit et de variation de la fonction:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && 2 && $+\infty$ \\\hline $e^x$ && + &$|$& + &$|$ & +&\\\hline $x^2-x-2$ && $+$ &\zb&$-$ &\zb &+ &\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ &\zb &+ &\\\hline &&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]


  2. Si $A(x;y)$ est un point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses, alors $y=f(x)=0$, soit ici, comme $e^x\not=0$,
    \[x^2-3x+1=0\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=5>0$ et admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt5}2=\dfrac{3-\sqrt5}2$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt5}2$.
    Ainsi, la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A(x_1;0)$ et $B(x_2;0)$.
  3. La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées au point $C(0;f(0))$ (c'est l'ordonnée à l'origine), avec $f(0)=1e^0=1$, soit le point $C(0;1)$.
  4. $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit avec $a=0$, $T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)$ avec $f(0)=1$ et $f'(0)=-2e^0=-2$, on trouve donc
    \[T_0: y=-2x+1\]


  5. \[\psset{arrowsize=8pt,xunit=1cm,yunit=1cm}\begin{pspicture*}(-5,-10)(5,5) \psline{->}(-5,0)(5,0) \psline{->}(0,-8)(0,5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.4pt]{-5}{5}{x 2 exp -3 x mul add 1 add 2.718 x exp mul} \psplot{-5}{5}{-2 x mul 1 add}\rput(-1.3,3){$T_0$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.3,1){$C$} \multido{\i=-5+1}{10}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)} \multido{\i=-7+1}{12}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)} \rput(.5,.3){$A$} \rput(2.8,.3){$B$} \end{pspicture*}\]



Tag:Exponentielle

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