Calculs de fonctions dérivées - Fonction exponentielle
Exercices corrigés et détaillés
Rappel des formules
Formules de dérivation de l'exponentielle
Faut-il rappeler les formules de dérivation de la fonction exponentielle ?Formules qu'on ajoute aux autres formules générales de dérivations:
Forumles générales de dérivation des fonctions
Faut-il rappeler les formules générales de dérivation: fonctions usuelles et opérations sur les dérivées ?et sans oublier, bien sûr, les règles de calcul algébrique sur l'exponentielle (et plus généralement les puissances):
Propriétés algébriques de l'exponentielle
Faut-il rappeler les formules de calcul algébrique sur l'exponentielle ?Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées
Calculer l'expression f '(x) des fonctions dérivées dans tous les cas suivants.Écrire la fonction dérivée sous la forme la plus "simplifiée" possible: une seule fraction au plus (même dénominateur …), et une expression la plus factorisée possible.
- f (x) = 3ex
f (x) = 3exOn a f = 3u avec u = ex donc u' = ex et alors f '= 3u', soit finalement f '(x) = 3ex. - f (x) = e3x+2
f '(x) = 3e3x+2On a f = eu avec u(x) = 3x+2 donc u'(x) = 3 et alors f '(x) = u'eu
soitf '(x) = 3e3x+2 - f (x) = ex2
f '(x) = 2xex2On a f = eu avec u(x) = x2 donc u'(x) = 2x et alors f '(x) = u'eu
soitf '(x) = 2xex2 - f (x) = e−x
f '(x) = − e−x - f (x) = xex
f '(x) = (1 + x)exOn a un produit f = uv avec u = x donc u' = 1 et v = ex donc v' = ex et alors f ' = u'v + uv' soit finalement, en factorisant,f '(x) = 1ex + xex = (1+x)ex - f (x) = (x2 + 2)ex
f '(x) = (x2 + 2x + 2)ex
On a un produit f = uv avec u = x2 + 2 donc u' = 2x et v = ex donc v' = ex et alors f ' = u'v + uv' soit finalement, en factorisant,f '(x) = 2xex + (x2+2)ex = (x2 + 2x + 2)ex
- f (x) = 2ex + 1
f '(x) = − 2ex(ex + 1)2On peut dériver un quotient car f s'écrit sous la forme f = 2× 1 u avec u(x) = ex + 1 donc u'(x) = ex
On a alors f ' = 2×−u'u2 soitf '(x) = 2×−ex(ex + 1)2soit aussif '(x) = −2ex(ex + 1)2
- f (x) = 12x + 3ex
f '(x) = 2x + 1(2x + 3)2exOn peut dériver un quotient car f (x) = ex2x + 3 et on a donc f = u v avec u(x) = ex donc u'(x) = ex et v(x) = 2x + 3 donc v'(x) = 2.
On a alors f ' = u'v − uv'v2 soitf '(x) = ex(2x + 3) − 2ex(2x + 3)2puis, en factorisant,f '(x) = ex2x + 1(2x + 3)2
Remarque/autres calculs: On peut dériver directement le produit f = uv avec u(x) = 12x + 3 donc u = 1w d'où u' = −w'w2 soit u'(x) = −2(2x + 3)2
et v(x) = ex donc aussi v'(x) = ex on obtient alors f '= u'v + uv' soitf '(x) = −2(2x + 3)2 ex + 12x + 3 exque l'on s'empresse de factoriserf '(x) = −2(2x + 3)2 + 12x+ 3 exet de mettre sur le même dénominateurf '(x) = −2(2x + 3)2 + 1(2x + 3)(2x + 3)2 ex = 2x + 1(2x + 3)2ex
- f (x) = ex + 2ex + 1
f (x) = − ex(ex + 1)2On a f = u v avec u(x) = ex + 2 donc u'(x) = ex et v(x) = ex + 1 donc v'(x) = ex.
On a alors f ' = u'v − uv'v2 soitf '(x) = ex(ex + 1) − (ex + 2)ex(ex + 1)2puis, en factorisant,f '(x) = ex(ex + 1) − (ex + 2)(ex + 1)2 = ex−1(ex + 1)2
Remarque/autres calculs: On peut aussi écrire, dès le début,
f (x) = ex + 2ex + 1 = (ex + 1) + 1ex + 1 = ex + 1ex + 1 + 1ex + 1 = 1 + 1ex + 1et alors, on écrit cette fois f = 1 + 1u avec u(x) = ex + 1 donc u'(x) = ex.
On dérive alors f ' = 0 −u'u2 soitf '(x) = −ex(ex + 1)2
- f (x) = xe−2x
f '(x) = (1 − 2x)e−2x - f(x) = (ex + 2x)2
f '(x) = 2(ex + 2)(ex + 2x)On a f = u2 avec u(x) = ex + 2x donc u'(x) = ex + 2 et alors f '= 2u'u soitf '(x) = 2(ex + 2)(ex + 2x) - f (x) = (x + 2)ex+2
f '(x) = (x + 3)ex+2 - f (x) = xex2
f '(x) = (1 + 2x2)ex2 - f (x) = e2xex + 1
f '(x) = e2xex + 2(ex + 1)2 - f (x) = e2x + 2e3x + 3
f '(x) = e2x −e3x + 6 − 6ex(e3x + 3)2 - f (x) = ex2ex + x
f '(x) = ex2 2xex + 2x2 − ex − 1 (e3x + 3)2 - f (x) = xexe2x + 1
f '(x) = ex (1 − x)e2x + 1 + x (e2x + 1)2 - f (x) = (ex + 3)2
f '(x) = 2ex(ex + 3) - f (x) = (e3x + 3x + 1)3
f '(x) = 3(3e3x + 3) (e3x + 3x + 1)2 - f (x) = exx + 12
f '(x) = 2xe2x(x + 1)3
Voir aussi: