Dérivées de fonctions avec exponentielles

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, sous leur forme factorisée.
a) $f(x)=3e^{2x}+4x-3$      b) $g(x)=(1+x)e^x$      c) $h(x)=2xe^{-3x^2}$


Correction

Correction

  1. On a $f=3e^u+v$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=4x-3$ donc $v'(x)=4$.
    On a alors $f'=3u'e^u+v'$, soit
    \[f'(x)=6e^{2x}+4\]


  2. On a un produit $g=uv$ avec $u(x)=1+x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$ et alors $f'=u'v+uv'$, soit
    \[f'(x)=e^x+(1+x)e^x=(1+x)e^x\]


  3. On a $h=uv$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v=e^w$ avec $w(x)=-3x^2$ donc $w'(x)=-6x$ d'où $v'=w'e^w$ et donc $v'(x)=-6xe^{-3x^2}$.
    On a alors $f'=u'v+uv'$ soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=2e^{-3x^2}+2x\lp-6xe^{-3x^2}\rp\\&=2e^{-3x^2}\lp1-6x^2\rp\enar\]



Tag:Exponentielle

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