Tangentes de l'exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction exponentielle $f(x)=\exp(x)$ , définie sur $\R$ .
Donner les équations des tangentes à sa courbe au point d'abscisse 0 puis au point d'abscisse 1.
Tracer ces tangentes dans un repère ainsi que l'allure de la courbe de la fonction exponentielle.

Correction

L'équation de la tangente à la courbe de

au point d'abscisse

est

$T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$

et ainsi, en 0,

$T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)$

avec, pour la fonction exponentielle,

, d'où l'équation de la tangente

$T_0: y=1(x-0)+1=x+1$

De même, au point d'abscisse 1,

$T_1: y=f'(1)(x-1)+f(1)$

avec

et donc

$T_1: y=e(x-1)+e=x$

On trace alors ces deux tangentes et la courbe de l'exponentielle:

$\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,5.5) \psline[arrowsize=8pt]{->}(-3,0)(3,0)\psline[arrowsize=8pt]{->}(0,-1)(0,5.5) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3}{2}{2.718 x exp} \rput[r](-.1,1.1){1} \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.718)(0,2.718) \rput[r](-.1,2.7){$e$}\rput(1,-.2){1} \psplot{-3}{3}{x 1 add}\rput(-1.9,-.5){$T_0$} \psplot{-3}{3}{2.718 x mul}\rput(-.5,-.5){$T_1$} \end{pspicture*}$

Tag:Exponentielle

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