Exponentielle

Propriétés principales et quelques exercices corrigés


Fonction exponentielle

Définition

Définition de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l'unique fonction f telle que f' = f et f (0) = 1.
On a donc exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1.

Courbe représentative

Votre navigateur ne semble pas assez récent pour afficher ce graphique...


Signe et variations

Propriété: positivité de l'exponentielle
Pour tout réel x, on a ex > 0

Comme de plus l'exponentielle est égale à sa dérivée, on en déduit que sa dérivée est donc aussi positive, et donc:
Propriété: stricte croissance l'exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Équations et inéquations

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, on en déduit aussi en particulier que
Propriété: équations et inéquations
  • ex = eyx = y
  • ex ≤ eyxy

Exercice
Résoudre:
  • ex = 1

    Comme e0 = 1 , l'équation est équivalente à ex = e0x = 0
  • ex+2 = ex−4

    On applique directement la propriété précédente: ex+2 = ex−4 x+2 = −x−4 x = −3
  • ex > 1

    Comme e0 = 1 , et que l'exponentielle est strictement croissante, l'inéquation est équivalente à ex > e0x > 0
  • ex+2 ≤ ex−4

    On applique directement la propriété précédente: comme l'exponentielle est strictement croissante, ex+2 ≤ ex−4 x+2≤−x−4 x≤−3

Propriétés algébriques

Les règles de calculs algébriques sont les mêmes que pour les puissances, d'où la notation d'ailleurs, exp(x) = ex.
Propriétés
Pour tous nombres réels x et y,
  • exey = ex+y
  • ex = 1ex
  • exey = exy
  • (ex)y = exy
De plus, on a, e0 = 1 et e1 = e ≃ 2,718…

Exercice
Compléter:
  • exey = …

    … = ex+y
  • exey = …

    … = exy
  • (ex)3 = …

    … = e3x

Exercice
Compléter les factorisations:
  • e2x − ex = ex ()

    … = ex ( ex − 1 )
  • ex+3 + ex = e3 ()

    … = e3 ( ex + 1 )
  • e3x+4 + ex = e2x+2 ()

    … = e2x+2 ( ex+2 + ex−2 )

Limites en l'infini

Comme l'illustre la courbe représentative de la fonction exponentielle, on a les limites:
Limites en l'infini de l'exponentielle
 limx−∞ ex = 0  et   limx+∞ ex = +∞

Pour lever certaines formes indéterminées, le théorème suivant est incontournable face à des fonctions mêlant des exponentielles et des polynômes:
Théorème: croissances comparées en l'infini de l'exponentielle et des polynômes
On a les limites  limx+∞ exx = +∞  et   limx−∞ xex = 0
Plus généralement, pour tout entier naturel n, on a les limites  limx+∞ exxn = +∞  et   limx−∞ xnex = 0


Fonction réciproque: logarithme népérien

La fonction exponentielle est strictement croissante de R sur ]0;+∞[, elle réalise donc une bijection de R sur ]0;+∞[ (voir théorème des valeurs intermédiaires ou de la bijection).
Ainsi, pour tout y ∈ ]0;+∞[, il existe un unique xR tel que ex = y. Cet unique nombre x est le logarithme népérien de y, noté x = ln(y)
En résumé, pour tout nombre réel x et tout nombre réel y>0, on a
ex = yx = ln(y)
Cette fonction se trouve maintenant sur toutes les calculatrices (scientifiques), et a de nombreuses propriétés comme la fonction exponentielle.
Exercice
Résoudre:
  • ex = 1

    ex = 1 ⇔ x = ln(1) = 0 et on retrouve bien sûr le résultat de l'exercice précédent.
  • ex = 2

    ex = 2 x = ln(2) ≃ 0.693…
  • ex−3 = 5

    ex−3 = 5 x−3 = ln(5) x = 3 + ln(5) ≃ 4.609



Voir aussi:
LongPage: h2: 5 - h3: 3