Fonctions dérivées

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Donner l'expression de la fonction dérivée $f'$ des fonctions $f$ suivantes (donner les expressions sous la forme d'une seule fraction).
a) $f(x)=3x^5-\dfrac12x^4+6x-257$
b) $f(x)=\left( 3x^2+5\rp\sqrt{x}$
c) $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{2x+1}$
d) $f(x)=\dfrac{x^2+3}{3-x}$


Correction

Correction

  1. $f$ est une fonction polynôme; $f'(x)=3\tm5x^4-\dfrac12\tm4x^3+6-0$ et donc
    \[f'(x)=15x^4-2x^3+6\]


  2. $f=uv$, avec $u(x)=3x^2+5$ donc $u'(x)=6x$ et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$;
    ainsi, $f'=u'v+uv'$, soit
    \[f'(x)=6x\sqrt{x}+\dfrac{3x^2+5}{2\sqrt{x}} =\dfrac{15x^2+5}{2\sqrt{x}}\]


  3. $f=u+7\dfrac{1}{v}$ avec $u(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$;
    ainsi $f'=u'+7\dfrac{-v'}{v^2}$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}+7\dfrac{-2}{(2x+1)^2}\\[1em] &=\dfrac{-(2x+1)^2-14x^2}{x^2(2x+1)^2}\\[1em] &=\dfrac{-18x^2-4x-1}{x^2(2x+1)^2}\enar\]


  4. $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2+3$ donc $u'(x)=2x$, et $v(x)=3-x$ donc $v'(x)=-1$; ainsi $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2x(3-x)-\left( x^2+3\rp(-1)}{(3-x)^2}\\[1em] &=\dfrac{-x^2+6x+3}{(3-x)^2}\enar\]



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