Devoir de maths corrigé, Produit scalaire et trigonométrie

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le produit scalaire, trigonométrie et des équations de tangentes. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Produit scalaire: calcul d'un angle et de la distance à une droite

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points $A(3;-2)$, $B(5;2)$ et $C(-1;1)$.
  1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
  2. Montrer que $\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac{2}{5\sqrt5}$, puis en déduire l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près.
  3. Soit le point $H$ projection orthogonale du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    Calculer la longueur $AH$ puis en déduire $HC$ (donner les valeurs exactes).

Correction exercice 1



\[\psset{unit=1cm,arrowsize=9pt} \begin{pspicture}(-2.5,-3)(6,3) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-2.3,0)(6,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-3)(0,3) \rput(3,-2){$\tm$}\rput(3.2,-2.2){$A$} \rput(5,2){$\tm$}\rput(5.2,2.2){$B$} \rput(-1,1){$\tm$}\rput[r](-1.2,1){$C$} \pspolygon(3,-2)(5,2)(-1,1) \multido{\i=-2+1}{8}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)} \multido{\i=-2+1}{5}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)} \psline(-1,1)(3.37,-1.25)\rput(3.6,-1.3){$H$} \psline(3.2,-1.15)(3.3,-.94)(3.48,-1.03) \end{pspicture}\]


  1. On a $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\4\enar\rp$ et $\overrightarrow{AC}\lp\begin{array}{c}-4\\3\enar\rp$ d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\tm(-4)+4\tm3=4$
  2. On a aussi $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$, avec $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ et $AC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$,
    d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$.

    On a donc, en utilisant la question précédente,
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]

    soit aussi
    \[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]

    Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
    \[\widehat{BAC}\simeq79,7^\circ\]


  3. On peut soit utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle $AHC$, dans lequel
    \[\cos\hat{A}=\dfrac{AH}{AC}\]

    soit en utilisant les valeurs précédentes de $AC$ et du cosinus,
    \[\cos\hat{A}=\dfrac2{5\sqrt5}=\dfrac{AH}5\]

    d'où $AH=\dfrac2{\sqrt5}$
    Deuxième méthode, avec le produit scalaire: comme $H$ est le projeté orthogonal, on a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=AB\times AH$.

    On en déduit alors, en tuilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$,
    \[\begin{array}{lll} &AC^2&=HC^2+AH^2\\\iff&HC^2&=AC^2-AH^2\\ &&=5^2-\lp\dfrac2{\sqrt5}\rp^2=\dfrac{121}5\enar\]

    d'où
    \[HC=\dfrac{11}{\sqrt5}\]



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Exercice 2: Inéquation sur le cercle trigonométrique

En s'aidant du cercle trigonométrique, résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l'inéquation: $\cos(x)\geqslant\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Correction exercice 2


On connaît la valeur remarquable du cosinus: $\cos\dfrac\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$, et donc aussi par symétrie (et/ou formule trigonométrique) $\sin\lp-\dfrac\pi4\rp=\dfrac{\pi}4$.
À l'aide du cercle trigonométrique, on trouve alors les solutions de l'inéquation:
\[\cos(x)\geqslant\dfrac{\sqrt2}{2} \iff x\in\lb-\dfrac\pi4;\dfrac\pi4\rb\]


\[\psset{unit=1.8cm} \begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \pscircle(0,0){1} \psline(-1.1,0)(1.1,0) \psline(0,-1.1)(0,1.1) \psline[linestyle=dashed](.707,-.707)(.707,.707) \rput(0.6,-.2){$\frac{\sqrt2}{2}$} \psarc[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0){1}{-45}{45} \psline(0,0)(1,-1)\rput(1.4,.5){$\dfrac\pi4$} \psarc[arrowsize=7pt]{<-}(0,0){1.3}{-45}{-1} \psline(0,0)(1,1)\rput(1.4,-.5){$-\dfrac\pi4$} \psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0){1.3}{1}{45} \end{pspicture}\]



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Exercice 3: Tangentes perpendiculaires à une parabole

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=\dfrac12x^2-x+\dfrac72$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.
On note $T_0$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 et $T_2$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2.
  1. Donner l'équation de $T_0$.
  2. Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $T_0$ avec l'axe des abscisses, puis du point $B$ d'intersection de $T_0$ avec l'axe des ordonnées.
  3. Donner l'équation de $T_2$.
  4. Montrer que les droites $T_0$ et $T_2$ sont perpendiculaires.

Correction exercice 3


  1. On a $f'(x)=x-1$ et donc, la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}_f$ en 0 a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$, avec $f'(0)=-1$ et $f(0)=\dfrac72$, d'où l'équation
    \[T_0: y=-x+\dfrac72\]

  2. On a $A(x;0)\in T_0$ et donc $y=0=-x+\dfrac72\iff x=\dfrac72$, et donc $A\lp\dfrac72;0\rp$
    De même, on a $B(0;y)\in T_0$ et donc $y=0+\dfrac72$, et donc $B\lp0;\dfrac72\rp$
  3. La tangente $T_2$ à $\mathcal{C}_f$ en 2 a pour équation $T_2: y=f'(2)(x-2)+f(2)$ soit, avec $f'(2)=1$ et $f(2)=\dfrac72$, l'équation
    \[T_2: y=1(x-2)+\dfrac72=x+\dfrac32\]


  4. On peut suivre l'idée de la question b) et chercher aussi les points d'intersection de $T_2$ avec les axes du repère.
    On trouve les points $A'\lp-\dfrac32;0\rp$ et $B'\lp0;\dfrac32\rp$.

    Maintenant, les droites $T_1$et $T_2$ sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{A'B'}$ sont orthogonaux, et donc si et seulement si
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'B'}=0\]

    Or, $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}-7/2\\7/2\enar\rp$ et $\overrightarrow{A'B'}\lp\begin{array}{c}3/2\\3/2\enar\rp$, d'où
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'B'}=\lp-\dfrac72\rp\tm\dfrac32+\dfrac72\tm\dfrac32=0\]

    ce qui montre que ces vecteurs sont bin orthongonaux, et donc les droites bien perpendiculaires.


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