Calcul du nombre dérivé et tangente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie par l'expression $f(x)=\dfrac{3}{2x-1}$.
  1. Montrer que $f$ est dérivable en $a=1$.
  2. Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et retrouver le résultat précédent.
  3. Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 1.
  4. Dresser le tableau de variation de $f$.



Correction

Correction

  1. Le taux de variation est
    \[\begin{array}{ll} \tau(h)&=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =\dfrac{\dfrac{3}{2(1+h)-1}-3}{h}\\[1em] &=\dfrac{\dfrac{3}{1+2h}-3}{h} =\dfrac{-6h}{h(1+2h)} =\dfrac{-6}{1+2h} \enar\]

    Ainsi, $\dsp\lim_{h\to0}\tau(h)=-6$, ce qui montre que $f$ est dérivable en $a=1$, avec $f'(1)=-6$.
  2. On a $f=3\tm\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=2x-1$ donc $u'(x)=2$,
    et alors $f'=3\tm\dfrac{-1}{u^2}$, soit $f'(x)=3\tm\dfrac{-2}{(2x-1)^2}=\dfrac{-6}{(2x-1)^2}$
    On retrouve donc $f'(1)=-6$.
  3. Cette tangente a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-6(x-1)+3=-6x+9$
  4. Comme $f'(x)=\dfrac{-6}{(2x-1)^2}<0$, et que $(2x-1)^2>0$ pour tout $x\not=1/2$, on en déduit que $f$ est décroissante sur $]-\infty;1/2[$ et sur $]1/2;+\infty[$.


Tag:Fonctions et dérivées

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