Devoir de maths corrigé, Dérivées et étude de fonctions

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les fonctions: calcul de fonctions dérivées et étude de fonctions. Mesure principal d'un angle en radians. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Calculs de fonctions dérivées

Donner l'expression de la fonction dérivée $f'$ des fonctions $f$ suivantes (donner les expressions sous la forme d'une seule fraction).
a) $f(x)=3x^5-\dfrac12x^4+6x-257$
b) $f(x)=\left( 3x^2+5\rp\sqrt{x}$
c) $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{2x+1}$
d) $f(x)=\dfrac{x^2+3}{3-x}$

Correction exercice 1


  1. $f$ est une fonction polynôme; $f'(x)=3\tm5x^4-\dfrac12\tm4x^3+6-0$ et donc
    \[f'(x)=15x^4-2x^3+6\]


  2. $f=uv$, avec $u(x)=3x^2+5$ donc $u'(x)=6x$ et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$;
    ainsi, $f'=u'v+uv'$, soit
    \[f'(x)=6x\sqrt{x}+\dfrac{3x^2+5}{2\sqrt{x}} =\dfrac{15x^2+5}{2\sqrt{x}}\]


  3. $f=u+7\dfrac{1}{v}$ avec $u(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$;
    ainsi $f'=u'+7\dfrac{-v'}{v^2}$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}+7\dfrac{-2}{(2x+1)^2}\\[1em] &=\dfrac{-(2x+1)^2-14x^2}{x^2(2x+1)^2}\\[1em] &=\dfrac{-18x^2-4x-1}{x^2(2x+1)^2}\enar\]


  4. $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2+3$ donc $u'(x)=2x$, et $v(x)=3-x$ donc $v'(x)=-1$; ainsi $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2x(3-x)-\left( x^2+3\rp(-1)}{(3-x)^2}\\[1em] &=\dfrac{-x^2+6x+3}{(3-x)^2}\enar\]



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Exercice 2: Dérivée et sens de variation - Équation de tangente

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-x^2-4x+1$, et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
  1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$, puis dresser le tableau de variation de $f$.
  2. Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

Correction exercice 2


  1. $f'(x)=6x^2-2x-4$ est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=100>0$ et admet donc deux racines $x_1=1$ (qui était aussi évidente) et $x_2=-\dfrac23$ et on a donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2/3$ && 1 && $+\infty$ \\\hline $6x^2-2x-4$ &&$+$&\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]

  2. La tangente en $a=1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ soit, avec $f'(1)=0$ et $f(1)=-2$, on obtient l'équation de la tangente (horizontale): $y=-2$.


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Exercice 3: Position relative de deux courbes

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=-x+2$.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Correction exercice 3


$f(x)-g(x)=\dfrac1x-(-x+2) =\dfrac{x^2-2x+1}{x} =\dfrac{(x-1)^2}{x}$.
On dresse alors le tableau de signe de cette différence:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $0$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline $(x-1)^2$ && $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline $x$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $f(x)-g(x)$ && $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline \end{tabular} \]

et on a donc les positions relatives:
  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty;0[$
  • $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$
  • $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse 1.


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Exercice 4: Étude des variations d'une fonction

Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x+\dfrac{8}{x}$.

Correction exercice 4


La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R^*$ avec, pour tout réel $x\not=0$,
\[\begin{array}{ll}f'(x) &=2-\dfrac{8}{x^2}\\ &=\dfrac{2x^2-8}{x^2}\\ &=2\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\enar\]

Le numérateur est du second degré, avec les racines (mises en évidence) $x=-2$ et $x=2$, d'où le tableau de signes et de variations

\[\begin{tabular}[t]{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $0$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline $(x-2)(x+2)$ && $+$ &\zb&$-$&$|$&$-$&\zb&$+$&\\\hline $x^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db&$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&$-8$&&&&&&\\ $f$&&\psline{->}(-0.5,-0.3)(0.5,0.4)&& \psline{->}(-0.5,0.4)(0.5,-0.3)& \psline(0,0.7)(0,-0.5)\psline(0.1,0.7)(0.1,-0.5)& \psline{->}(-0.4,0.4)(0.5,-0.3)&& \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.5,0.4)&\\ &&&&&&&8&&\\\hline \end{tabular}\]



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