Devoir de maths corrigé, Fonctions dérivées et angles en radians

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les fonctions: calcul de fonctions dérivées et étude de fonctions. Mesure principal d'un angle en radians. Devoir posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Angles en radians et mesure principale

  1. Représenter sur le cercle trigonométrique les angles $\dfrac{4\pi}3$ et $-\dfrac{5\pi}{6}$
  2. Donner les mesures principales des angles $\dfrac{13\pi}4$ et $-\dfrac{8\pi}3$

Correction exercice 1



  1. \[\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3) \psline(-1.2,0)(1.2,0) \psline(0,-1.2)(0,1.2) \pscircle(0,0){1} \psline(-.5,-.866)(.5,.866) \psline(.5,-.866)(-.5,.866) \psarc(0,0){.4}{5}{55}\psarc(0,0){.45}{5}{55} \psarc(0,0){.4}{65}{115}\psarc(0,0){.45}{65}{115} \psarc(0,0){.4}{125}{175}\psarc(0,0){.45}{125}{175} \psarc(0,0){.4}{185}{235}\psarc(0,0){.45}{185}{235} \psarc[arrowsize=8pt]{->}(0,0){.7}{0}{60}\rput(.65,.5){$\frac\pi3$} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-.5,-.866)(0,0)(1,0) \psarc[arrowsize=8pt,linecolor=blue]{->}(0,0){1.25}{0}{240}\rput(-1.3,.5){\blue$\dfrac{4\pi}3$} \end{pspicture}\]



    \[\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3) \psline(-1.2,0)(1.2,0) \psline(0,-1.2)(0,1.2) \pscircle(0,0){1} \psline(-.866,-.5)(.866,.5) \psarc[arrowsize=8pt]{->}(0,0){.7}{2}{30}\rput(.8,.2){$\frac\pi6$} \psarc(0,0){.4}{3}{27}\psarc(0,0){.44}{3}{27} % \psline(-.866,.5)(.866,-.5) \psarc[arrowsize=8pt]{<-}(0,0){.7}{330}{358}\rput(.82,-.2){-$\frac\pi6$} \psarc(0,0){.4}{3}{27}\psarc(0,0){.44}{3}{27} \psline(-.5,.866,.5)(.5,-.866) \psline(.5,.866,.5)(-.5,-.866) % \psarc(0,0){.4}{333}{357}\psarc(0,0){.44}{333}{357} \psarc(0,0){.4}{303}{327}\psarc(0,0){.44}{303}{327} \psarc(0,0){.4}{273}{297}\psarc(0,0){.44}{273}{297} \psarc(0,0){.4}{243}{267}\psarc(0,0){.44}{243}{267} \psarc(0,0){.4}{213}{237}\psarc(0,0){.44}{213}{237} \psarc[linecolor=blue,arrowsize=8pt]{<-}(0,0){1.25}{210}{360}\rput(1,-1.1){\blue$-\dfrac{5\pi}6$} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-.866,-.5)(0,0)(1,0) \end{pspicture}\]


  2. On retire deux tours: $\dfrac{13\pi}4-2(2\pi)=-\dfrac{3\pi}4$ et donc la mesure principale de l'angle $\dfrac{13\pi}4$ est $-\dfrac{3\pi}4$

    On ajoute un tour: $-\dfrac{8\pi}3+2\pi=-\dfrac{2\pi}3$ et donc la mesure principale de $-\dfrac{8\pi}3$ est $-\dfrac{2\pi}3$


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Exercice 2: Calculs de fonctions dérivées

Donner l'expression de la fonction dérivée $f'$ des fonctions $f$ suivantes (donner les expressions sous la forme d'une seule fraction).
a) $f(x)=x+2+\dfrac{2}{2x+3}$    ;    b) $g(x)=\lp3x^2-3x+17\rp^5$    ;    c) $h(x)=x\sqrt{3x+1}$

Correction exercice 2


  1. On a $f=u+2\tm\dfrac1{v}$ avec $u(x)=x+2$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=2x+3$ et donc $v'(x)=2$ d'où $f'=u'+2\tm\dfrac{-v'}{v^2}$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=1+2\tm\dfrac{-2}{(2x+3)^2}\\[1em] &=\dfrac{(2x+3)^2-4}{(2x+3)^2}\\[1em] &=\dfrac{4x^2+12x+5}{(2x+3)^2} \enar\]


  2. On a $g=u^5$ avec $u(x)=3x^2-3x+17$ donc $u'(x)=6x-3$ et alors $g'=5u'u^4$ soit
    \[g'(x)=5(6x-3)\lp3x^2-3x+17\rp^4\]


  3. On a $h=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\sqrt{3x+1}$ donc aussi $v=\sqrt{w}$ et donc $v'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ soit $v'(x)=\dfrac3{2\sqrt{3x+1}}$ et enfin, $h'=u'v+uv'$ soit
    \[\begin{array}{ll}h'(x)&=\sqrt{3x+1}+x\dfrac3{2\sqrt{3x+1}}\\[1em] &=\dfrac{2(3x+1)+3x}{2\sqrt{3x+1}}\\[1em] &=\dfrac{9x+2}{2\sqrt{3x+1}} \enar\]



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Exercice 3: Etude de fonction, avec fonction auxiliaire, TVI (bijection)

  1. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=x^3-3x-4$.
    1. Etudier les variations de $f$, et dresser son tableau de variation.
    2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ a une unique solution $a$ sur $\R$ et que $a\in[2;3]$.
      Donner un encadrement de $a$ d'amplitude $10^{-2}$.
    3. Déterminer le signe de $f(x)$ sur $\R$.

  2. On appelle $g$ la fonction définie sur $\R\setminus\la0\ra$ par $g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$.
    1. Calculer la dérivée $g'$ de $g$ et montrer que $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x^3}$ pour tout $x$ de $\R\setminus\la0\ra$.
    2. En déduire les variations de $g$.
    3. Montrer que $g(a)=6\dfrac{a+1}{a^2}$.
      En déduire un encadrement de $g(a)$.

Correction exercice 3


  1. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=x^3-3x-4$.
    1. $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$, et donc,
      \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $+$ & \zb& $-$ &\zb&$+$ & \\\hline &&&-2&&&&\\ $f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.5,0.6)&& \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&& \psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\ &&&&&-6&&\\\hline \end{tabular}\]


    2. La fonction $f$ est dérivable sur $[2;3]$, strictement croissante, et telle que $f(2)=-2<0$ et $f(3)=14>0$.
      On en déduit, d'après le théorème de la bijection, que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[2;3]$.

      De plus, sur $]-\infty;2]$, le maximum de $f$ est $f(-1)=f(-2)=-2<0$, et donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.
      De même, sur $[3;+\infty[$, la fonction est croissante et a pour minimum $f(3)=14>0$, et l'équation $f(x)=0$ n'y admet pas non plus de solution.
      En résumé, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$, et cette solution appartient à l'intervalle $[2;3]$.


      De plus, on calcule que $f(2,19)\simeq -0,07<0$ et $f(2,20)\simeq 0,05>0$, d'où l'encadrement
      \[2,19<a<2,20\]


    3. On en déduit le signe de $f(x)$ sur $\R$:
      \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $a$ && $+\infty$ \\\hline &&&-2&&&&&&\\ $f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&& \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&& \psline{->}(-0.4,-0.3)(1.4,0.6)&\rput(0,0.12){$0$}&&\\ &&&&&-6&&&&\\\hline $f(x)$ &&&$-$&&&&\zb& $+$&\\\hline \end{tabular}\]


  2. On appelle $g$ la fonction définie sur $\R\setminus\la0\ra$ par $g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$.
    1. On a $g=\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=x^3+3x+2$, $u'(x)=3x^2+3$, et $v(x)=x^2$, $v'(x)=2x$, d'où,
      \[\begin{array}{ll}g'(x) &=\dfrac{(3x^2+3)x^2-(x^3+3x+2)(2x)}{x^4}\\ &=\dfrac{x^4-3x^2-4x}{x^4}\\ &=\dfrac{x^3-3x-4}{x^3} =\dfrac{f(x)}{x^3} \enar\]


    2. On déduit de la question 1.c) le tableau de variation:

      \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $0$ && $a$ && $+\infty$ \\\hline $f(x)$ && $-$ &$|$ & $-$ &\zb& $+$ & \\\hline $x^3$ && $-$ &\zb&$+$ &$|$ & $+$ & \\\hline $g'(x)$ && $+$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline &&&\psline(0,-1.2)(0,0.3)\,\psline(0,-1.2)(0,0.3)&&&&\\ $g(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&& \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&& \psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\ &&&&&$g(a)$&&\\\hline \end{tabular}\]


    3. On a, par définition du nombre $a$, $f(a)=a^3-3a-4=0\iff a^3=3a+4$
      On en déduit que
      \[\begin{array}{ll}g(a)&=\dfrac{a^3+3a+2}{a^2}\\ &=\dfrac{(3a+4)+3a+2}{a^2}\\ &=\dfrac{6a+6}{a^2}\\ &=6\dfrac{a+1}{a^2}\enar\]


      On a vu de plus que $2,19<a<2,20$ et alors,
      • d'une part $6(2,19+1)<6(a+1)<6(2,20+1)$
      • et d'autre part $2,19^2<a^2<2,20^2$ et alors $\dfrac1{2,20^2}<\dfrac1{a^2}<\dfrac1{2,19^2}$
      et alors, en multipliant ces inégalités de termes positifs, on obtient
      \[\dfrac{6(2,19+1)}{2,20^2}<\dfrac{6(a+1)}{a^2}<\dfrac{6(2,20+1)}{2,19^2}\]

      et on trouve donc finalement l'encadrement
      \[3,95<g(a)<4,00\]



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Quelques autres devoirs




Voir aussi:
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