Tableaux de signe avec exponentielles

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, sous leur forme factorisée.
a) $f(x)=3e^{2x}+4x-3$      b) $g(x)=(1+x)e^x$      c) $h(x)=2xe^{-3x^2}$     


Correction

Correction

  1. On a
    \[f(x)>0\iff e^{2x}>e^{-x+1}\]

    et donc, comme la fonction exponentielle est strictement croissante,
    \[f(x)>0\iff 2x>-x+1\iff x>\dfrac13\]

    et on a ainsi le tableau de signe:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $1/3$& & $+\infty$ \\\hline $f(x)$&& $-$ &0& $+$ &\\\hline \end{tabular}\]


  2. On a un produit de l'exponentielle, qui est toujours strictement positive, et d'un trinôme du second degré, de discriminant $\Delta=25>0$ et qui admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2}=-4$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2}=1$.
    On peut alors dresser le tableau de signe:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-4$&& 1 && $+\infty$ \\\hline $e^{-2x}$&& $+$ &$|$& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $x^2+3x-4$&& $+$ &0& $-$ &0& $+$ &\\\hline $g(x)$&& $+$ &0& $-$ &0& $+$ &\\\hline \end{tabular}\]

  3. Pour le dénominateur, on a $e^x-1>0\iff e^x>1=e^0\iff x>0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante.
    On a alors le tableau de signe
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$&& 0 && $+\infty$ \\\hline $e^x$&& $+$ &$|$& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $x+2$&& $-$ &0& $+$ &0& $+$ &\\\hline $e^x-1$&& $-$ &$|$& $-$ &0& $+$ &\\\hline $h(x)$&& $+$ &\db& $-$ &0& $+$ &\\\hline \end{tabular}\]



Tag:Exponentielle

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