Exponentielle, fonction auxiliaire, tangente et position relative

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On définit la fonction $f$ sur $\R$ par $f(x)=1+x+\dfrac{x}{e^x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=1-x+e^x$.
    Déterminer les variations de $g$. En déduire le signe de $g(x)$.
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=e^{-x}g(x)$.
    Donner alors les variations de $f$.
  3. Donner l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
    Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$.
  4. Tracer $T$ et l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère.



Correction

Correction

  1. La dérivée de la fonction $g$ est $g'(x)=-1+e^x$, dont on cherche le signe:
    \[g'(x)=-1+e^x>0\iff e^x>1=e^0 \iff x>0\]

    car l'exponentielle est strictement croissante.
    On peut alors dresser le tableau de variation de $g$:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && 0 && $+\infty$\\\hline $g'(x)$ && $-$ &0&$+$& \\\hline &&&&&\\ $g$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&2&&\\\hline \end{tabular}\]


    Comme le minimum de $g$ est 2, on en déduit en particulier que, pour tout réel $x$, on a que $g(x)\geqslant2>0$, c'est-à-dire que $g(x)$ est toujours strictement positif:
    \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $+\infty$\\\hline $g(x)$ && $+$ & \\\hline \end{tabular}\]

  2. On a $f=u+\dfrac{v}{w}$ avec $u(x)=1+x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=x$ donc $v'(x)=1$ et $w(x)=e^x$ donc $w'(x)=e^x$.
    On a alors $f'=u'+\dfrac{v'w-vw'}{w^2}$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=1+\dfrac{e^x-xe^x}{\left( e^x\rp^2}\\[1.2em] &=1+\dfrac{e^x(1-x)}{e^{2x}}\\[1em] &=1+\dfrac{1-x}{e^x}\\[1em] &=\dfrac{e^x+1-x}{e^x}\\[.6em] &=\left( e^x+1-x\right) e^{-x}\\[.6em] &=g(x) e^{-x} \enar\]


    Remarque: On peut aussi écrire dès le début, avant de dériver, que $f(x)=1+x+xe^{-x}$ puis dériver le produit $xe^{-x}$.
    En utilisant alors le résultat de la question précédente sur le signe de $g(x)$ on trouve alors
    \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $+\infty$\\\hline $e^{-x}$ && $+$ &\\\hline $g(x)$ && $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ & \\\hline &&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&\\\hline \end{tabular}\]

  3. La tangente en $0$ a pour équation $T: y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit, avec $f'(0)=g(0)e^0=2$ et $f(0)=1$, on obtient l'équation
    \[T: y=2x+1\]


    La position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$ est donnée par le signe de la différence
    \[\begin{array}{ll}h(x)&=f(x)-(2x+1)\\ &=-x+\dfrac{x}{e^x}\\ &=\dfrac{-xe^x+x}{e^x}\\ &=\dfrac{x(-e^x+1)}{e^x} \enar\]

    On a besoin ici du signe de $-e^x+1>0\iff 1=e^0>e^x\iff 0>x$ et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && 0 && $+\infty$ \\\hline $x$ && $-$ &0&$+$&\\\hline $-e^x+1$ && $+$ &0&$-$&\\\hline $e^x$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline $h(x)$ && $-$ &0&$-$&\\\hline \end{tabular}\]

    On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ est toujours en dessous de la tangente $T$.
  4. On trace la droite $T:y=2x+1$ tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0, et d'ordonnée 1, puis la courbe $\mathcal{C}$ qui est croissante et toujours en dessous de sa tangente $T$.
    \[\psset{arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-3,-5)(5,5) \psline{->}(-5,0)(4.8,0) \psline{->}(0,-5)(0,5) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{-5}{5}{1 x add x 2.718 x exp div add} \rput(3,3.8){\blue$\mathcal{C}$} \psplot{-5}{5}{2 x mul 1 add}\rput(-2,-2.2){$T$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1){1} \end{pspicture*}\]



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