Variation et tangente, produit et composée avec exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=2xe^{-3x+1}$.
Préciser l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.


Correction

Correction

On a $f=uv$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=e^{-3x+1}$ soit $v=e^w$ avec $w(x)=-3x+1$ donc $w'(x)=-3$ et alors $v'=w'e^w$ soit $w'(x)=-3xe^{-3x+1}$.
On a alors $f'=u'v+uv'$, soit
\[f'(x)=2e^{-3x+1}+2x\times \lp-3e^{-3x+1}\rp=\lp -6x+2\rp e^{-3x+1}\]


L'exponentielle est toujours strictement positive, $e^{-3x+1}>0$ et on a dresse alors le tableau de signe et de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $1/3$ && $+\infty$ \\\hline $e^{-3x+1}$ && + &$|$& +&\\\hline $-6x+2$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]


L'équation de la tangente en $a$ est $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit ici avec $a=0$,
$T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)$, donc ici, avec $f'(0)=2e^1=2e$ et $f(0)=0$, on trouve l'équation $T_0: y=2ex$


Tag:Exponentielle

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